---
route: /task/cke-pp-treningowe-30
title: Zadanie cke-pp-treningowe-30
source: CKE PP treningowe
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie cke-pp-treningowe-30

**Źródło:** CKE PP treningowe
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Kąt między cięciwą \( AB \) a styczną do okręgu w punkcie \( A \) ma miarę \( \alpha =62^\circ \). Wówczas:

## Odpowiedzi

- **A.** \(\beta =118^\circ \)
- **B.** \(\beta =124^\circ \)
- **C.** \(\beta =138^\circ \)
- **D.** \(\beta =152^\circ \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Oznaczmy przez \( S \) punkt na stycznej do okręgu w punkcie \( A \), tak że \( \angle SAB = 62° \).

**Krok 1: Twierdzenie o kącie między cięciwą a styczną**

Kąt między cięciwą a styczną w punkcie \( A \) jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tej samej cięciwie, ale z przeciwnej strony.

Jeśli kąt między styczną a cięciwą \( AB \) wynosi \( \alpha = 62° \), to kąt wpisany \( \angle ACB \) (gdzie \( C \) jest punktem na okręgu po przeciwnej stronie cięciwy niż styczna) wynosi również \( 62° \).

**Krok 2: Określenie kąta \( \beta \)**

Z kontekstu zadania wynika, że \( \beta \) to prawdopodobnie kąt wpisany po drugiej stronie cięciwy \( AB \).

Punkty \( A \), \( B \) dzielą okrąg na dwa łuki. Jeśli kąt wpisany z jednej strony (tam gdzie styczna) wynosi \( 62° \), to jest oparty na krótszym łuku.

**Krok 3: Wykorzystanie własności kątów wpisanych**

Suma kątów wpisanych opartych na dopełniających się łukach wynosi \( 180° \) tylko gdy są oparte na łuku półokręgu.

Kąt środkowy odpowiadający łukowi, na którym oparty jest kąt \( 62° \):
$$\text{kąt środkowy} = 2 \cdot 62° = 124°$$

**Krok 4: Wyznaczenie \( \beta \)**

Kąt \( \beta \) jest kątem wpisanym opartym na łuku dopełniającym do pełnego okręgu:
$$\text{kąt środkowy dla } \beta = 360° - 124° = 236°$$

Jednak jeśli \( \beta \) jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku co kąt środkowy \( 124° \), ale widziany z punktu po drugiej stronie cięciwy wewnątrz koła, to:
$$\beta = \frac{360° - 124°}{2} = \frac{236°}{2} = 118°$$

Ale jeśli \( \beta \) to bezpośrednio kąt środkowy odpowiadający kątowi \( 62° \):
$$\beta = 2 \cdot 62° = 124°$$

**Odpowiedź: B**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-pp-treningowe