---
route: /task/cke-pp-treningowe-28
title: Zadanie cke-pp-treningowe-28
source: CKE PP treningowe
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie cke-pp-treningowe-28

**Źródło:** CKE PP treningowe
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Kąt \( \alpha \) jest ostry i \( \sin \alpha =\frac{1}{4} \) . Wówczas

## Odpowiedzi

- **A.** \(\cos \alpha \lt \frac{3}{4} \)
- **B.** \(\cos \alpha =\frac{3}{4} \)
- **C.** \(\cos \alpha =\frac{\sqrt{13}}{4} \)
- **D.** \(\cos \alpha >\frac{\sqrt{13}}{4} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-pp-treningowe-28.png]

Korzysta się z jedynki trygonometrycznej, aby wyznaczyć \(\cos \alpha\).

**Krok 2: Jedynka trygonometryczna**

Dla dowolnego kąta zachodzi:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

**Krok 3: Podstawienie danych**

Mamy \(\sin \alpha = \frac{1}{4}\), więc:
$$\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\frac{1}{16} + \cos^2 \alpha = 1$$

**Krok 4: Wyznaczenie \(\cos^2 \alpha\)**

$$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{16} = \frac{16}{16} - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$$

**Krok 5: Wyznaczenie \(\cos \alpha\)**

$$\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$$

Ponieważ kąt \(\alpha\) jest ostry (tj. \(0°  0\), zatem:
$$\cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$$

**Krok 6: Porównanie z opcjami**

Musimy porównać \(\frac{\sqrt{15}}{4}\) z wartościami z odpowiedzi.

Sprawdźmy \(\frac{3}{4}\):
$$\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2 = \frac{15}{16} \quad \text{oraz} \quad \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$$

Ponieważ \(\frac{15}{16} > \frac{9}{16}\), to \(\frac{\sqrt{15}}{4} > \frac{3}{4}\), więc opcja A jest fałszywa, a B też.

Sprawdźmy \(\frac{\sqrt{13}}{4}\):
$$\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2 = \frac{15}{16} \quad \text{oraz} \quad \left(\frac{\sqrt{13}}{4}\right)^2 = \frac{13}{16}$$

Ponieważ \(\frac{15}{16} > \frac{13}{16}\), to \(\frac{\sqrt{15}}{4} > \frac{\sqrt{13}}{4}\).

**Odpowiedź: D**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-pp-treningowe