---
route: /task/cke-pp-treningowe-108
title: Zadanie cke-pp-treningowe-108
source: CKE PP treningowe
category: Geometria analityczna
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-pp-treningowe-108

**Źródło:** CKE PP treningowe
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku \(O\) i średnicach odpowiednio \(AB\) i \(CD\) (punkty \(A, B, C, D\) i \(O\) są współliniowe). Punkt \(P\) leży na wewnętrznym półokręgu, punkt \(R\) leży na zewnętrznym półokręgu, punkty \(O, P\) i \(R\) są współliniowe. Udowodnij, że \(|\sphericalangle APB| + |\sphericalangle CRD| = 180^\circ\).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

## Analiza sytuacji

Mamy dwa półokręgi współśrodkowe o środku \(O\):
- Wewnętrzny półokrąg o średnicy \(AB\)
- Zewnętrzny półokrąg o średnicy \(CD\)
- Punkty \(A, B, C, D, O\) leżą na jednej prostej
- Punkt \(P\) leży na wewnętrznym półokręgu
- Punkt \(R\) leży na zewnętrznym półokręgu
- Punkty \(O, P, R\) są współliniowe (leżą na promieniu)

## Krok 1: Kąt wpisany oparty na średnicy wewnętrznego okręgu

Punkt \(P\) leży na półokręgu o średnicy \(AB\).

Z twierdzenia Talesa: **kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym**.

Zatem:
$$\sphericalangle APB = 90^\circ$$

## Krok 2: Kąt wpisany oparty na średnicy zewnętrznego okręgu

Punkt \(R\) leży na półokręgu o średnicy \(CD\).

Analogicznie, z twierdzenia Talesa:
$$\sphericalangle CRD = 90^\circ$$

## Krok 3: Suma kątów

Obliczamy sumę:
$$|\sphericalangle APB| + |\sphericalangle CRD| = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$

## Uzasadnienie geometryczne

Kluczowe jest to, że:
- Każdy kąt wpisany w półokrąg (oparty na średnicy) ma miarę \(90^\circ\)
- Nie ma znaczenia, gdzie dokładnie leżą punkty \(P\) i \(R\) na swoich półokręgach
- Współliniowość punktów \(O, P, R\) nie wpływa na miary kątów \(\sphericalangle APB\) i \(\sphericalangle CRD\), ponieważ każdy z tych kątów jest wyznaczony tylko przez położenie wierzchołka na półokręgu i końce średnicy

## Wniosek

$$|\sphericalangle APB| + |\sphericalangle CRD| = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$

co kończy dowód. ∎

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-pp-treningowe