---
route: /task/cke-pp-treningowe-107
title: Zadanie cke-pp-treningowe-107
source: CKE PP treningowe
category: Geometria analityczna
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-pp-treningowe-107

**Źródło:** CKE PP treningowe
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Punkt \(D\) leży na boku \(BC\) trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Odcinek \(AD\) dzieli trójkąt \(ABC\) na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że \(|AD| = |CD|\) oraz \(|AB| = |BD|\) (patrz rysunek). Udowodnij, że \(|\sphericalangle ADC| = 5\cdot |\sphericalangle ACD| \) .

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Oznaczmy $$\alpha = |\angle ACD|$$

Będziemy wyrażać wszystkie kąty w funkcji $\alpha$.

## Krok 1: Analiza trójkąta $ACD$

Trójkąt $ACD$ jest równoramienny z $|AD| = |CD|$.

Zatem:
$$|\angle DAC| = |\angle ACD| = \alpha$$

Ze sumy kątów w trójkącie:
$$|\angle ADC| = 180° - \alpha - \alpha = 180° - 2\alpha$$

## Krok 2: Analiza trójkąta $ABD$

Trójkąt $ABD$ jest równoramienny z $|AB| = |BD|$.

Kąt $|\angle ADB|$ jest kątem przyległym do $|\angle ADC|$, więc:
$$|\angle ADB| = 180° - |\angle ADC| = 180° - (180° - 2\alpha) = 2\alpha$$

Ponieważ $|AB| = |BD|$, to:
$$|\angle BAD| = |\angle ADB| = 2\alpha$$

Ze sumy kątów w trójkącie $ABD$:
$$|\angle ABD| = 180° - 2\alpha - 2\alpha = 180° - 4\alpha$$

## Krok 3: Analiza trójkąta $ABC$

Trójkąt $ABC$ jest równoramienny z $|AC| = |BC|$.

Zatem:
$$|\angle CAB| = |\angle CBA|$$

Mamy:
$$|\angle CAB| = |\angle CAD| + |\angle DAB| = \alpha + 2\alpha = 3\alpha$$

$$|\angle CBA| = |\angle ABD| = 180° - 4\alpha$$

## Krok 4: Równanie z warunku równoramienności

Z warunku $|\angle CAB| = |\angle CBA|$:
$$3\alpha = 180° - 4\alpha$$

$$7\alpha = 180°$$

$$\alpha = \frac{180°}{7}$$

## Krok 5: Weryfikacja tezy

Obliczamy $|\angle ADC|$:
$$|\angle ADC| = 180° - 2\alpha = 180° - 2 \cdot \frac{180°}{7} = 180° - \frac{360°}{7} = \frac{1260° - 360°}{7} = \frac{900°}{7}$$

Sprawdzamy, czy $|\angle ADC| = 5 \cdot |\angle ACD|$:
$$5 \cdot |\angle ACD| = 5\alpha = 5 \cdot \frac{180°}{7} = \frac{900°}{7}$$

Rzeczywiście:
$$|\angle ADC| = \frac{900°}{7} = 5 \cdot \frac{180°}{7} = 5 \cdot |\angle ACD|$$

$$\boxed{|\angle ADC| = 5 \cdot |\angle ACD|}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-pp-treningowe