---
route: /task/cke-pp-treningowe-106
title: Zadanie cke-pp-treningowe-106
source: CKE PP treningowe
category: Liczby rzeczywiste
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-pp-treningowe-106

**Źródło:** CKE PP treningowe
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Udowodnij, że jeśli: a) \(x, y\) są liczbami rzeczywistymi, to \(x^2 + y^2 \ge 2xy\). b) \(x, y, z\) są liczbami rzeczywistymi takimi, że \(x + y + z = 1\), to \(x^2 + y^2 + z^2 \ge 1/3\).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

## Część a)

Udowodnimy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x, y\) zachodzi \(x^2 + y^2 \ge 2xy\).

**Dowód:**

Przenosimy wszystko na jedną stronę:
$$x^2 + y^2 - 2xy \ge 0$$
$$(x - y)^2 \ge 0$$

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x, y \in \mathbb{R}\). \(\square\)

## Część b)

Udowodnimy, że jeśli \(x + y + z = 1\), to \(x^2 + y^2 + z^2 \ge \frac{1}{3}\).

**Dowód:**

Z części a) wiemy, że dla dowolnych dwóch liczb rzeczywistych \(a^2 + b^2 \ge 2ab\). Stosujemy tę nierówność trzykrotnie:
$$x^2 + y^2 \ge 2xy \quad (1)$$
$$y^2 + z^2 \ge 2yz \quad (2)$$
$$x^2 + z^2 \ge 2xz \quad (3)$$

Dodajemy stronami:
$$2(x^2 + y^2 + z^2) \ge 2(xy + yz + xz)$$
$$x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + xz \quad (4)$$

Teraz korzystamy z warunku \(x + y + z = 1\). Podnosimy do kwadratu:
$$(x + y + z)^2 = 1$$
$$x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + xz) = 1$$

Zatem:
$$xy + yz + xz = \frac{1 - (x^2 + y^2 + z^2)}{2}$$

Podstawiamy do (4):
$$x^2 + y^2 + z^2 \ge \frac{1 - (x^2 + y^2 + z^2)}{2}$$

Oznaczmy \(S = x^2 + y^2 + z^2\):
$$S \ge \frac{1 - S}{2}$$
$$2S \ge 1 - S$$
$$3S \ge 1$$
$$S \ge \frac{1}{3}$$

Co kończy dowód. \(\square\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-pp-treningowe