---
route: /task/cke-pp-treningowe-105
title: Zadanie cke-pp-treningowe-105
source: CKE PP treningowe
category: Potęgi i pierwiastki
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-pp-treningowe-105

**Źródło:** CKE PP treningowe
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że prawdziwa jest nierówność \(\sqrt{2^{50} + 1} + \sqrt{2^{50} - 1} \lt 2^{26}\).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Oznaczymy \(a = 2^{50}\) dla uproszczenia zapisu. Musimy wykazać, że:
$$\sqrt{a + 1} + \sqrt{a - 1} < 2^{26}$$

**Krok 1: Podniesienie obu stron do kwadratu**

Podnosimy obie strony nierówności do kwadratu (obie są dodatnie):
$$\left(\sqrt{a + 1} + \sqrt{a - 1}\right)^2 < \left(2^{26}\right)^2$$

Rozwijamy lewą stronę:
$$(\sqrt{a + 1})^2 + 2\sqrt{a + 1}\cdot\sqrt{a - 1} + (\sqrt{a - 1})^2 < 2^{52}$$

$$(a + 1) + 2\sqrt{(a + 1)(a - 1)} + (a - 1) < 2^{52}$$

$$2a + 2\sqrt{a^2 - 1} < 2^{52}$$

**Krok 2: Uproszczenie**

Dzielimy obie strony przez 2:
$$a + \sqrt{a^2 - 1} < 2^{51}$$

Podstawiamy \(a = 2^{50}\):
$$2^{50} + \sqrt{2^{100} - 1} < 2^{51}$$

$$\sqrt{2^{100} - 1} < 2^{51} - 2^{50}$$

$$\sqrt{2^{100} - 1} < 2^{50}(2 - 1)$$

$$\sqrt{2^{100} - 1} < 2^{50}$$

**Krok 3: Ponowne podniesienie do kwadratu**

Podnosimy obie strony do kwadratu:
$$2^{100} - 1 < \left(2^{50}\right)^2$$

$$2^{100} - 1 < 2^{100}$$

$$-1 < 0$$

**Krok 4: Wniosek**

Otrzymaliśmy prawdziwą nierówność \(-1 < 0\).

Ponieważ wszystkie nasze przekształcenia były równoważne (podnosiliśmy do kwadratu liczby dodatnie), wynika z tego, że wyjściowa nierówność jest prawdziwa:
$$\sqrt{2^{50} + 1} + \sqrt{2^{50} - 1} < 2^{26}$$

Co kończy dowód. \(\square\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-pp-treningowe