---
route: /task/cke-pp-treningowe-104
title: Zadanie cke-pp-treningowe-104
source: CKE PP treningowe
category: Geometria analityczna
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-pp-treningowe-104

**Źródło:** CKE PP treningowe
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Na zewnątrz trójkąta prostokątnego \(ABC\), w którym \(|\sphericalangle ACB| = 90\) oraz \(|AC| = 5\), \(|BC| = 12\) zbudowano kwadrat \(ACDE\) (patrz rysunek). Punkt \(H\) leży na prostej \(AB\) i kąt \(|\sphericalangle EHA| = 90^\circ\). Oblicz pole trójkąta \(HAE\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{750}{169}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Trójkąt prostokątny \(ABC\) z \(|\angle ACB| = 90^\circ\), \(|AC| = 5\), \(|BC| = 12\). Na zewnątrz zbudowano kwadrat \(ACDE\). Punkt \(H\) leży na prostej \(AB\), \(|\angle EHA| = 90^\circ\).

**Krok 1: Układ współrzędnych**

Z rysunku: \(A\) na osi \(Ox\), kwadrat \(ACDE\) po lewej stronie.
- \(A = (0, 0)\)
- \(C = (0, 5)\) (\(AC\) pionowo, \(|AC| = 5\))
- \(B\): kąt prosty przy \(C\), \(|BC| = 12\), więc \(B = (12, 5)\)

Kwadrat \(ACDE\) zbudowany na zewnątrz trójkąta na boku \(AC\):
- \(D = (-5, 5)\)
- \(E = (-5, 0)\)

**Krok 2: Prosta \(AB\)**

Kierunek: \(\vec{AB} = (12, 5)\)
Równanie parametryczne: \((x, y) = (0, 0) + t(12, 5) = (12t, 5t)\)

Równanie prostej: \(y = \frac{5}{12}x\), czyli \(5x - 12y = 0\).

**Krok 3: Punkt \(H\) na prostej \(AB\) taki, że \(\angle EHA = 90^\circ\)**

Punkt \(H\) leży na prostej \(AB\): \(H = (12t, 5t)\).

Wektor \(\vec{HE} = (-5 - 12t, -5t)\)
Wektor \(\vec{HA} = (-12t, -5t)\)

Warunek prostopadłości: \(\vec{HE} \cdot \vec{HA} = 0\)
$$(-5 - 12t)(-12t) + (-5t)(-5t) = 0$$
$$60t + 144t^2 + 25t^2 = 0$$
$$169t^2 + 60t = 0$$
$$t(169t + 60) = 0$$

\(t = 0\) daje \(H = A\) (odrzucamy).
$$t = -\frac{60}{169}$$

$$H = \left(-\frac{720}{169}, -\frac{300}{169}\right)$$

**Krok 4: Pole trójkąta \(HAE\)**

\(A = (0, 0)\), \(E = (-5, 0)\), \(H = \left(-\frac{720}{169}, -\frac{300}{169}\right)\)

Podstawa \(AE\) leży na osi \(Ox\): \(|AE| = 5\)

Wysokość: odległość \(H\) od osi \(Ox\) to \(\left|-\frac{300}{169}\right| = \frac{300}{169}\)

$$P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{300}{169} = \frac{1500}{338} = \frac{750}{169}$$

**Odpowiedź:** \(\frac{750}{169}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-pp-treningowe