---
route: /task/cke-pp-treningowe-103
title: Zadanie cke-pp-treningowe-103
source: CKE PP treningowe
category: Geometria analityczna
points: 6
type: open
---

# Zadanie cke-pp-treningowe-103

**Źródło:** CKE PP treningowe
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 6
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|BC| = 30\), \(|AC| = 40\), \(|AB| = 50\). Punkt \(W\) jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Okrąg wpisany w trójkąt \(ABC\) jest styczny do boku \(AB\) w punkcie \(M\). Oblicz długość odcinka \(CM\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(2\sqrt{145}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Dany trójkąt prostokątny \(ABC\) z bokami \(|BC| = 30\), \(|AC| = 40\), \(|AB| = 50\). Okrąg wpisany jest styczny do boku \(AB\) w punkcie \(M\). Obliczamy \(|CM|\).

**Krok 1: Promień okręgu wpisanego**

Dla trójkąta prostokątnego z przyprostokątnymi \(a = 30\), \(b = 40\) i przeciwprostokątną \(c = 50\):
$$r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{30 + 40 - 50}{2} = 10$$

**Krok 2: Punkt styczności \(M\) na boku \(AB\)**

Z własności stycznych do okręgu: odcinki stycznych z jednego punktu do okręgu mają równe długości.

Oznaczmy:
- Okrąg styczny do \(BC\) w punkcie \(P\), do \(AC\) w punkcie \(Q\), do \(AB\) w punkcie \(M\).

Z wierzchołka \(A\): \(|AQ| = |AM|\)
Z wierzchołka \(B\): \(|BP| = |BM|\)
Z wierzchołka \(C\): \(|CP| = |CQ|\)

Wiemy, że: \(|AM| + |BM| = 50\), \(|CP| + |BP| = 30\), \(|CQ| + |AQ| = 40\).

Ponieważ \(|CP| = |CQ| = x\), \(|AM| = |AQ| = 40 - x\), \(|BM| = |BP| = 30 - x\).

Z warunku \(|AM| + |BM| = 50\):
$$(40 - x) + (30 - x) = 50$$
$$70 - 2x = 50$$
$$x = 10$$

Zatem: \(|AM| = 30\), \(|BM| = 20\).

**Krok 3: Współrzędne punktów**

Umieszczamy trójkąt w układzie współrzędnych. Z rysunku: kąt prosty przy \(C\).
- \(C = (0, 0)\)
- \(B = (0, 30)\)
- \(A = (40, 0)\)

Punkt \(M\) leży na \(AB\) tak, że \(|AM| = 30\) i \(|BM| = 20\).

$$M = B + \frac{20}{50}(A - B) = (0, 30) + \frac{2}{5}(40, -30) = (0 + 16, 30 - 12) = (16, 18)$$

**Krok 4: Obliczenie \(|CM|\)**

$$|CM| = \sqrt{16^2 + 18^2} = \sqrt{256 + 324} = \sqrt{580} = 2\sqrt{145}$$

**Odpowiedź:** \(|CM| = 2\sqrt{145}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-pp-treningowe