---
route: /task/cke-pp-treningowe-102
title: Zadanie cke-pp-treningowe-102
source: CKE PP treningowe
category: Geometria analityczna
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-pp-treningowe-102

**Źródło:** CKE PP treningowe
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Podstawą ostrosłupa \(ABCDE\) jest kwadrat \(ABCD\). Punkt \(F\) jest środkiem krawędzi \(AD\), odcinek \(EF\) jest wysokością ostrosłupa (patrz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli wiadomo, że \(|AE|=15\), \(|BE|=17\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{64\sqrt{209}}{3}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Oznaczmy długość boku kwadratu jako $$a = |AD| = |AB|$$

Punkt $$F$$ jest środkiem $$AD$$, więc $$|AF| = |FD| = \frac{a}{2}$$

**Krok 1: Znajdźmy wysokość ostrosłupa**

Ponieważ $$EF$$ jest wysokością ostrosłupa, to $$EF \perp ABCD$$.

W trójkącie prostokątnym $$AEF$$ (prostokątnym w $$F$$):
$$|AE|^2 = |AF|^2 + |EF|^2$$
$$15^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2$$
$$225 = \frac{a^2}{4} + h^2$$

gdzie $$h = |EF|$$ to wysokość ostrosłupa.

**Krok 2: Wykorzystajmy drugi warunek z punktem B**

Aby znaleźć $$|BF|$$, zauważmy, że $$F$$ to środek $$AD$$, a $$B$$ to wierzchołek kwadratu.

Współrzędne: niech $$A = (0, 0)$$, $$D = (a, 0)$$, $$B = (0, a)$$, $$C = (a, a)$$.

Wtedy $$F = \left(\frac{a}{2}, 0\right)$$.

Odległość $$BF$$ w podstawie:
$$|BF|^2 = \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + (0 - a)^2 = \frac{a^2}{4} + a^2 = \frac{5a^2}{4}$$

W trójkącie prostokątnym $$BEF$$ (prostokątnym w $$F$$):
$$|BE|^2 = |BF|^2 + |EF|^2$$
$$17^2 = \frac{5a^2}{4} + h^2$$
$$289 = \frac{5a^2}{4} + h^2$$

**Krok 3: Rozwiążmy układ równań**

Z pierwszego równania: $$h^2 = 225 - \frac{a^2}{4}$$

Z drugiego równania: $$h^2 = 289 - \frac{5a^2}{4}$$

Przyrównując:
$$225 - \frac{a^2}{4} = 289 - \frac{5a^2}{4}$$
$$225 - 289 = -\frac{5a^2}{4} + \frac{a^2}{4}$$
$$-64 = -\frac{4a^2}{4}$$
$$-64 = -a^2$$
$$a^2 = 64$$
$$a = 8$$

**Krok 4: Obliczmy wysokość**

$$h^2 = 225 - \frac{64}{4} = 225 - 16 = 209$$
$$h = \sqrt{209}$$

**Krok 5: Obliczmy objętość ostrosłupa**

Pole podstawy (kwadratu):
$$P_{podst} = a^2 = 64$$

Objętość ostrosłupa:
$$V = \frac{1}{3} \cdot P_{podst} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot \sqrt{209} = \frac{64\sqrt{209}}{3}$$

**Odpowiedź:** $$\frac{64\sqrt{209}}{3}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-pp-treningowe