---
route: /task/cke-pp-treningowe-101
title: Zadanie cke-pp-treningowe-101
source: CKE PP treningowe
category: Stereometria
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-pp-treningowe-101

**Źródło:** CKE PP treningowe
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Pole trójkąta równoramiennego \(ACS\) jest równe \(120\) oraz \(|AC| : |AS| = 10 : 13\) . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(20\sqrt{313}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Pole trójkąta \(ACS\) wynosi \(120\), a \(|AC| : |AS| = 10 : 13\).

**Krok 1: Wyznaczenie długości \(|AC|\) i \(|AS|\)**

Niech \(|AC| = 10k\) i \(|AS| = 13k\).

Trójkąt \(ACS\) jest równoramienny (\(|AS| = |CS| = 13k\), bo ostrosłup jest prawidłowy).

Wyznaczamy wysokość trójkąta \(ACS\) z wierzchołka \(S\) na bok \(AC\). Niech \(M\) będzie środkiem \(AC\). Wtedy \(|AM| = 5k\).

$$|SM| = \sqrt{|AS|^2 - |AM|^2} = \sqrt{169k^2 - 25k^2} = \sqrt{144k^2} = 12k$$

Pole trójkąta \(ACS\):
$$P_{ACS} = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |SM| = \frac{1}{2} \cdot 10k \cdot 12k = 60k^2 = 120$$

Zatem \(k^2 = 2\), czyli \(k = \sqrt{2}\).

$$|AC| = 10\sqrt{2}, \quad |AS| = 13\sqrt{2}$$

**Krok 2: Bok kwadratu**

Przekątna kwadratu \(|AC| = a\sqrt{2}\), więc:
$$a\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \implies a = 10$$

**Krok 3: Wysokość ściany bocznej (apotema)**

Ściana boczna to trójkąt równoramienny o podstawie \(a = 10\) i ramieniu \(|AS| = 13\sqrt{2}\).

Apotema (wysokość ściany bocznej) - to odległość od wierzchołka \(S\) do środka boku podstawy. Niech \(N\) będzie środkiem boku \(AB\). Środek kwadratu \(O\) jest środkiem przekątnej \(AC\). Odległość od \(O\) do środka boku wynosi \(\frac{a}{2} = 5\).

Wysokość ostrosłupa: \(|SM| = 12k = 12\sqrt{2}\), ale \(M\) jest środkiem przekątnej, więc \(|SO| = |SM| = 12\sqrt{2}\) (bo \(M = O\) - środek przekątnej to środek kwadratu).

Zatem wysokość ostrosłupa \(h = |SO| = 12\sqrt{2}\).

Apotema \(h_b\) (od \(S\) do środka boku \(N\)):
$$h_b = \sqrt{h^2 + |ON|^2} = \sqrt{(12\sqrt{2})^2 + 5^2} = \sqrt{288 + 25} = \sqrt{313}$$

**Krok 4: Pole powierzchni bocznej**

Ostrosłup ma 4 ściany boczne, każda jest trójkątem o podstawie \(a = 10\) i wysokości \(h_b = \sqrt{313}\):

$$P_b = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \sqrt{313} = 20\sqrt{313}$$

**Odpowiedź:** \(P_b = 20\sqrt{313}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-pp-treningowe