---
route: /task/cke-pp-treningowe-100
title: Zadanie cke-pp-treningowe-100
source: CKE PP treningowe
category: Ciągi
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-pp-treningowe-100

**Źródło:** CKE PP treningowe
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego wyrazów jest równa \(10\), a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(a_n=2\) lub \(a_n=3n-7\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Oznacza się pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego przez \(a_1\), a różnicę przez \(r\).

## Warunek 1: Suma pierwszych pięciu wyrazów

Wzór na sumę pierwszych \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)r)}{2}$$

Dla \(n = 5\):
$$S_5 = \frac{5(2a_1 + 4r)}{2} = \frac{5 \cdot 2(a_1 + 2r)}{2} = 5(a_1 + 2r) = 10$$

Stąd:
$$a_1 + 2r = 2$$

## Warunek 2: Wyrazy tworzące ciąg geometryczny

W ciągu arytmetycznym:
- \(a_3 = a_1 + 2r\)
- \(a_5 = a_1 + 4r\)
- \(a_{13} = a_1 + 12r\)

Aby te wyrazy tworzyły ciąg geometryczny, musi zachodzić:
$$a_5^2 = a_3 \cdot a_{13}$$

Podstawia się:
$$(a_1 + 4r)^2 = (a_1 + 2r)(a_1 + 12r)$$

Rozwija się lewą stronę:
$$a_1^2 + 8a_1r + 16r^2$$

Rozwija się prawą stronę:
$$a_1^2 + 12a_1r + 2a_1r + 24r^2 = a_1^2 + 14a_1r + 24r^2$$

Porównuje się:
$$a_1^2 + 8a_1r + 16r^2 = a_1^2 + 14a_1r + 24r^2$$
$$8a_1r + 16r^2 = 14a_1r + 24r^2$$
$$-6a_1r - 8r^2 = 0$$
$$-2r(3a_1 + 4r) = 0$$

Stąd: \(r = 0\) lub \(3a_1 + 4r = 0\)

## Przypadek 1: \(r = 0\)

Z warunku \(a_1 + 2r = 2\):
$$a_1 = 2$$

Wzór ogólny:
$$a_n = 2$$

## Przypadek 2: \(3a_1 + 4r = 0\)

Stąd: \(a_1 = -\frac{4r}{3}\)

Podstawia się do \(a_1 + 2r = 2\):
$$-\frac{4r}{3} + 2r = 2$$
$$-\frac{4r}{3} + \frac{6r}{3} = 2$$
$$\frac{2r}{3} = 2$$
$$r = 3$$

Zatem:
$$a_1 = -\frac{4 \cdot 3}{3} = -4$$

Wzór ogólny:
$$a_n = a_1 + (n-1)r = -4 + (n-1) \cdot 3 = -4 + 3n - 3 = 3n - 7$$

## Odpowiedź

$$\boxed{a_n = 2 \text{ lub } a_n = 3n - 7}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-pp-treningowe