---
route: /task/cke-2025-pp-76
title: Zadanie cke-2025-pp-76
source: CKE 2025 PP
category: Prawdopodobieństwo
points: 4
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-76

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Prawdopodobieństwo
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Spośród wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb dodatnich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba będzie parzysta, a w jej zapisie dziesiętnym wystąpią dokładnie jedna cyfra \(2\) i dokładnie jedna cyfra \(3\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(P(A)=\frac{1}{25}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Krok 1: Określenie przestrzeni zdarzeń elementarnych

Czterocyfrowe liczby dodatnie to liczby od 1000 do 9999.

$$|\Omega| = 9999 - 1000 + 1 = 9000$$

## Krok 2: Sformułowanie warunków zdarzenia A

Wylosowana liczba musi spełniać:
- jest parzysta (cyfra jedności: 0, 2, 4, 6, 8)
- zawiera dokładnie jedną cyfrę 2
- zawiera dokładnie jedną cyfrę 3

## Krok 3: Podział na przypadki ze względu na cyfrę jedności

**Przypadek 1: Cyfra jedności to 2**

Wtedy cyfra 2 już występuje (na pozycji jedności), więc nie może wystąpić na innych pozycjach.
Cyfra 3 musi wystąpić dokładnie raz na jednej z trzech pozostałych pozycji.

- **Cyfra 3 na pozycji tysięcy:** _ _ _ 2, gdzie pierwszy znak to 3
  - Pozostałe dwie pozycje: cyfry różne od 2 i 3, czyli 8 możliwości każda
  - Liczba możliwości: \(1 \cdot 8 \cdot 8 = 64\)

- **Cyfra 3 na pozycji setek lub dziesiątek:** 
  - Pozycja tysięcy: cyfry 1, 4-9 (nie może być 0, 2, 3) — 7 możliwości
  - Pozycja z cyfrą 3: 1 możliwość
  - Pozostała środkowa pozycja: cyfry różne od 2 i 3 — 8 możliwości
  - Dla każdej z 2 pozycji (setki lub dziesiątki): \(7 \cdot 8 = 56\)
  - Razem: \(2 \cdot 56 = 112\)

Suma dla przypadku 1: \(64 + 112 = 176\)

**Przypadek 2: Cyfra jedności to 0, 4, 6 lub 8**

Cyfra 2 musi wystąpić dokładnie raz, cyfra 3 musi wystąpić dokładnie raz na trzech pierwszych pozycjach.

Wybieramy 2 pozycje spośród 3 pierwszych: jedna dla cyfry 2, druga dla cyfry 3.

$$\binom{3}{2} \cdot 2! = 3 \cdot 2 = 6 \text{ sposobów rozmieszczenia cyfr 2 i 3}$$

Dla każdego rozmieszczenia:
- Jeśli cyfra 2 lub 3 jest na pozycji tysięcy, pozostała trzecia pozycja: 8 możliwości (cyfry różne od 2 i 3)
- Jeśli na pozycji tysięcy jest inna cyfra: musi być to jedna z cyfr 1, 4-9 (nie 0, 2, 3) — 7 możliwości

Rozważmy szczegółowo:
- **(2,3,_)** lub **(3,2,_)**: 2 układy, każdy z 8 możliwościami na 3. pozycji → \(2 \cdot 8 = 16\)
- **(_,2,3)** lub **(_,3,2)**: 2 układy, każdy z 7 możliwościami na 1. pozycji → \(2 \cdot 7 = 14\)
- **(2,_,3)** lub **(3,_,2)**: 2 układy, każdy z 8 możliwościami na środkowej pozycji → \(2 \cdot 8 = 16\)

Suma dla jednej cyfry jedności: \(16 + 14 + 16 = 46\)

Dla 4 cyfr jedności (0, 4, 6, 8): \(4 \cdot 46 = 184\)

## Krok 4: Obliczenie prawdopodobieństwa

$$|A| = 176 + 184 = 360$$

$$P(A) = \frac{360}{9000} = \frac{36}{900} = \frac{1}{25}$$

**Odpowiedź:** $$P(A) = \frac{1}{25}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/prawdopodobienstwo
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp