---
route: /task/cke-2025-pp-70
title: Zadanie cke-2025-pp-70
source: CKE 2025 PP
category: Stereometria
points: 4
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-70

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^{\circ}\), a krawędź podstawy ma długość równą \(6 \sqrt{3}\). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(V=108\)\(P_c=108+72\sqrt{3}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2025-pp-70.png]

## Dane i oznaczenia

- Podstawa: kwadrat o boku \(a = 6\sqrt{3}\)
- Ściana boczna nachylona do podstawy pod kątem \(\alpha = 30°\)
- Szukamy: objętości \(V\) i pola powierzchni całkowitej \(P_c\)

## Krok 2: Znajdowanie wysokości ostrosłupa

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym:
- Środek podstawy oznaczmy jako \(O\)
- Wierzchołek ostrosłupa jako \(S\)
- Wysokość ostrosłupa \(h = SO\) jest prostopadła do podstawy

Kąt nachylenia ściany bocznej to kąt między ścianą boczną a podstawą. Ten kąt mierzymy między wysokością ściany bocznej (poprowadzoną z wierzchołka \(S\) do środka krawędzi podstawy) a podstawą.

Oznaczmy środek krawędzi podstawy jako \(M\). Odległość \(OM\) (od środka kwadratu do środka boku) wynosi:

$$OM = \frac{a}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$

W trójkącie prostokątnym \(SOM\):
- \(\angle SMO = 30°\) (kąt nachylenia ściany)
- \(OM = 3\sqrt{3}\) (przyprostokątna)
- \(SO = h\) (przyprostokątna — wysokość ostrosłupa)

Z definicji tangensa:

$$\tan 30° = \frac{SO}{OM} = \frac{h}{3\sqrt{3}}$$

$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{3\sqrt{3}}$$

$$h = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$$

## Krok 3: Objętość ostrosłupa

Pole podstawy (kwadratu):

$$P_{pod} = a^2 = (6\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108$$

Objętość:

$$V = \frac{1}{3} \cdot P_{pod} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 108 \cdot 3 = 108$$

## Krok 4: Pole powierzchni całkowitej

Pole powierzchni całkowitej składa się z podstawy i 4 ścian bocznych.

**Wysokość ściany bocznej** (apotema ostrosłupa) \(SM\):

Z trójkąta \(SOM\):

$$SM = \frac{OM}{\cos 30°} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 6$$

**Pole jednej ściany bocznej** (trójkąt równoramienny):

$$P_{ściany} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6 = 18\sqrt{3}$$

**Pole wszystkich ścian bocznych:**

$$P_{boczne} = 4 \cdot 18\sqrt{3} = 72\sqrt{3}$$

**Pole powierzchni całkowitej:**

$$P_c = P_{pod} + P_{boczne} = 108 + 72\sqrt{3}$$

## Odpowiedź

$$V = 108$$
$$P_c = 108 + 72\sqrt{3}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp