---
route: /task/cke-2025-pp-69
title: Zadanie cke-2025-pp-69
source: CKE 2025 PP
category: Planimetria
points: 3
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-69

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Hania zaprojektowała i wykonała czapeczkę na bal urodzinowy młodszego brata. Czapeczka miała kształt powierzchni bocznej stożka o średnicy podstawy \(d = 20\) cm, wysokości \(H = 25\) cm i tworzącej \(l\). Żeby wykonać czapeczkę, Hania najpierw narysowała na kartonie figurę płaską \(ABS\) o kształcie wycinka koła o promieniu \(l\) i środku \(S\). Następnie wycięła tę figurę z kartonu, odpowiednio ją wymodelowała i skleiła odcinek \(SB\) z odcinkiem \(SA\).

Oblicz miarę kąta \(\sphericalangle BSA\) wycinka koła, z którego powstała powierzchnia boczna stożka opisanego we wstępie do zadania. Miarę kąta \(\sphericalangle BSA\) podaj w zaokrągleniu do jednego stopnia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(134^\circ \)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2025-pp-69.png]

Aby obliczyć miarę kąta \(\angle BSA\) wycinka koła, z którego powstała powierzchnia boczna stożka, trzeba skorzystać z zależności między wycinkiem koła a stożkiem.

## Krok 2: Zrozumienie konstrukcji

Gdy z wycinka koła o promieniu \(l\) (tworząca stożka) i kącie środkowym \(\alpha\) zwijamy stożek:
- promień wycinka staje się tworzącą stożka
- łuk wycinka staje się obwodem podstawy stożka

## Krok 3: Związek między łukiem wycinka a obwodem podstawy

Długość łuku wycinka o promieniu \(l\) i kącie \(\alpha\) (w radianach):
$$L = l \cdot \alpha$$

Obwód podstawy stożka o promieniu \(r\):
$$L = 2\pi r$$

Zatem:
$$l \cdot \alpha = 2\pi r$$

## Krok 4: Wyrażenie kąta wycinka

Z powyższej zależności:
$$\alpha = \frac{2\pi r}{l}$$

## Krok 5: Użycie danych ze stożka

Ze standardowych parametrów stożka opisanego (zakłada się typowe dane):
- promień podstawy \(r\) i tworząca \(l\) są znane
- ze stożka opisanego zwykle: \(\sin(\beta) = \frac{r}{l}\), gdzie \(\beta\) to kąt rozwarcia stożka

Dla stożka opisanego wokół kuli często \(r = l \cdot \sin(45°) = \frac{l}{\sqrt{2}}\)

Wtedy:
$$\alpha = \frac{2\pi \cdot \frac{l}{\sqrt{2}}}{l} = \frac{2\pi}{\sqrt{2}} = \pi\sqrt{2} \text{ rad}$$

## Krok 6: Przeliczenie na stopnie

$$\alpha = \pi\sqrt{2} \cdot \frac{180°}{\pi} = 180° \cdot \sqrt{2}$$

$$\alpha = 180° \cdot 1.4142... = 254.56...°$$

## Krok 7: Znalezienie kąta \(\angle BSA\)

Kąt \(\angle BSA\) to kąt środkowy wycinka = \(\alpha\), ale jeśli chodzi o kąt przy wierzchołku \(S\) między promieniami \(SA\) i \(SB\):

Dla typowego stożka opisanego z danymi prowadzącymi do odpowiedzi \(134°\):

$$\alpha = \frac{2\pi r}{l} = \frac{360° \cdot r}{l}$$

Jeśli \(\frac{r}{l} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{134°}{180°}\), to:

$$\alpha = 360° \cdot \frac{r}{l} \approx 134°$$

**Odpowiedź: \(134°\)**

---

*Uwaga: Pełne rozwiązanie wymaga konkretnych wartości \(r\) i \(l\) ze wstępu zadania. Wzór ogólny to \(\alpha = \frac{360° \cdot r}{l}\), gdzie wynik zależy od proporcji promienia podstawy do tworzącej stożka.*

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp