---
route: /task/cke-2025-pp-66
title: Zadanie cke-2025-pp-66
source: CKE 2025 PP
category: Stereometria
points: 1
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-66

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 1
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dane są dwa prostopadłościany podobne: \(B_1\) oraz \(B_2\). Objętość prostopadłościanu \(B_1\) jest równa \(V\), a objętość prostopadłościanu \(B_2\) jest równa \(27V\). Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(B_1\) jest równe \(P\). Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(B_2\) jest równe

**Prawidłowa odpowiedź:** B3

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Krok 1: Skala podobieństwa

Niech \(k\) będzie skalą podobieństwa prostopadłościanów, czyli:
$$\frac{\text{odpowiednie krawędzie } B_2}{\text{odpowiednie krawędzie } B_1} = k$$

## Krok 2: Związek między objętościami

Dla brył podobnych objętości są w stosunku \(k^3\):
$$\frac{V_{B_2}}{V_{B_1}} = k^3$$

Podstawiając dane:
$$\frac{27V}{V} = k^3$$
$$27 = k^3$$
$$k = 3$$

## Krok 3: Związek między polami powierzchni

Dla brył podobnych pola powierzchni są w stosunku \(k^2\):
$$\frac{P_{B_2}}{P_{B_1}} = k^2$$

Podstawiając \(k = 3\):
$$\frac{P_{B_2}}{P} = 3^2 = 9$$

## Krok 4: Obliczenie pola powierzchni \(B_2\)

$$P_{B_2} = 9P$$

## Uzasadnienie

Skala podobieństwa wynosi 3, ponieważ:
- Objętości brył podobnych są proporcjonalne do sześcianu skali podobieństwa
- Z warunku \(27V = k^3 \cdot V\) wynika \(k = 3\)
- Pola powierzchni są proporcjonalne do kwadratu skali podobieństwa
- Zatem \(P_{B_2} = 3^2 \cdot P = 9P\)

**Odpowiedź: B3**

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(B_2\) jest równe **9P**, ponieważ pola powierzchni figur podobnych są proporcjonalne do kwadratu skali podobieństwa.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp