---
route: /task/cke-2025-pp-65
title: Zadanie cke-2025-pp-65
source: CKE 2025 PP
category: Stereometria
points: 4
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-65

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest prostopadłościan \(ABCDEFGH\), w którym prostokąty \(ABCD\) i \(EFGH\) są jego podstawami. Odcinek \(BH\) jest przekątną tego prostopadłościanu.

W prostopadłościanie \(ABCDEFGH\) dane są:
\[\operatorname{tg} \beta =\frac{9}{7}\quad |BG|=2\cdot \sqrt{130}\quad |BH|=2\cdot \sqrt{194}\]
gdzie odcinek \(BH\) jest przekątną prostopadłościanu, odcinek \(BG\) jest przekątną ściany bocznej \(BCGF\), \(\beta\) jest miarą kąta \(\sphericalangle GBC\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(P_c=1528\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oznaczmy wymiary prostopadłościanu jako:
- \(|AB| = a\) (długość)
- \(|BC| = b\) (szerokość)
- \(|BF| = h\) (wysokość)

## Krok 1: Analiza kąta β

W trójkącie prostokątnym \(GBC\) (w ścianie bocznej \(BCGF\)):
- \(|BC| = b\) (przyprostokątna przy wierzchołku \(B\))
- \(|CG| = h\) (przyprostokątna przeciwprostokątna do kąta \(\beta\))
- \(|BG| = 2\sqrt{130}\) (przeciwprostokątna)

Z definicji tangensa:
$$\operatorname{tg} \beta = \frac{|CG|}{|BC|} = \frac{h}{b} = \frac{9}{7}$$

Zatem:
$$h = \frac{9b}{7}$$

## Krok 2: Wykorzystanie przekątnej ściany BG

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(GBC\):
$$|BG|^2 = b^2 + h^2$$

$$(2\sqrt{130})^2 = b^2 + h^2$$

$$520 = b^2 + \left(\frac{9b}{7}\right)^2$$

$$520 = b^2 + \frac{81b^2}{49}$$

$$520 = \frac{49b^2 + 81b^2}{49} = \frac{130b^2}{49}$$

$$b^2 = \frac{520 \cdot 49}{130} = \frac{25480}{130} = 196$$

$$b = 14$$

Stąd:
$$h = \frac{9 \cdot 14}{7} = 18$$

## Krok 3: Wykorzystanie przekątnej prostopadłościanu BH

Przekątna prostopadłościanu \(BH\) łączy wierzchołki \(B\) i \(H\), gdzie \(H\) jest naprzeciwległy do \(B\).

$$|BH|^2 = a^2 + b^2 + h^2$$

$$(2\sqrt{194})^2 = a^2 + 14^2 + 18^2$$

$$776 = a^2 + 196 + 324$$

$$776 = a^2 + 520$$

$$a^2 = 256$$

$$a = 16$$

## Krok 4: Obliczenie pola powierzchni całkowitej

Prostopadłościan ma wymiary: \(a = 16\), \(b = 14\), \(h = 18\)

Pole powierzchni całkowitej:
$$P_c = 2(ab + ah + bh)$$

$$P_c = 2(16 \cdot 14 + 16 \cdot 18 + 14 \cdot 18)$$

$$P_c = 2(224 + 288 + 252)$$

$$P_c = 2 \cdot 764$$

$$P_c = 1528$$

**Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wynosi \(P_c = 1528\)**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp