---
route: /task/cke-2025-pp-62
title: Zadanie cke-2025-pp-62
source: CKE 2025 PP
category: Funkcja kwadratowa
points: 4
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-62

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkty \(A=(2,8)\) oraz \(B=(10,2)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABP\), w którym \(|AP|=|BP|\). Wierzchołek \(P\) leży na osi \(O x\) układu współrzędnych. Oblicz współrzędne punktu \(P\) oraz długość odcinka \(AP\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(P=\left(\frac{9}{4},0\right)\)\(|AP|=\frac{5\sqrt{41}}{4}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2025-pp-62.png]

Szukamy punktu \(P\) na osi \(Ox\), dla którego \(|AP| = |BP|\).

## Krok 2: Ustalenie współrzędnych punktu P

Punkt \(P\) leży na osi \(Ox\), więc ma współrzędne \(P = (p, 0)\) dla pewnego \(p \in \mathbb{R}\).

## Krok 3: Zapisanie warunku równości odległości

Warunek \(|AP| = |BP|\) oznacza:

$$\sqrt{(p-2)^2 + (0-8)^2} = \sqrt{(p-10)^2 + (0-2)^2}$$

## Krok 4: Rozwiązanie równania

Podnosimy obie strony do kwadratu:

$$(p-2)^2 + 64 = (p-10)^2 + 4$$

Rozwijamy nawiasy:

$$p^2 - 4p + 4 + 64 = p^2 - 20p + 100 + 4$$

$$p^2 - 4p + 68 = p^2 - 20p + 104$$

Odejmujemy \(p^2\) z obu stron:

$$-4p + 68 = -20p + 104$$

Przenosimy wyrazy z \(p\) na lewą stronę, a liczby na prawą:

$$-4p + 20p = 104 - 68$$

$$16p = 36$$

$$p = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$$

Zatem \(P = \left(\frac{9}{4}, 0\right)\).

## Krok 5: Obliczenie długości odcinka AP

Podstawiamy współrzędne punktów \(A = (2, 8)\) i \(P = \left(\frac{9}{4}, 0\right)\):

$$|AP| = \sqrt{\left(\frac{9}{4} - 2\right)^2 + (0-8)^2}$$

Obliczamy:

$$\frac{9}{4} - 2 = \frac{9}{4} - \frac{8}{4} = \frac{1}{4}$$

$$|AP| = \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2 + 64} = \sqrt{\frac{1}{16} + 64}$$

$$|AP| = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1024}{16}} = \sqrt{\frac{1025}{16}}$$

$$|AP| = \frac{\sqrt{1025}}{4}$$

Rozkładamy \(1025 = 25 \cdot 41\):

$$|AP| = \frac{\sqrt{25 \cdot 41}}{4} = \frac{5\sqrt{41}}{4}$$

## Odpowiedź

Współrzędne punktu \(P = \left(\frac{9}{4}, 0\right)\), a długość odcinka \(|AP| = \frac{5\sqrt{41}}{4}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp