---
route: /task/cke-2025-pp-61
title: Zadanie cke-2025-pp-61
source: CKE 2025 PP
category: Geometria analityczna
points: 4
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-61

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przekątne równoległoboku \(A B C D\) przecinają się w punkcie \(S=\left(\frac{11}{2}, \frac{17}{2}\right)\). Bok \(A B\) tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu \(y=x-2\), a bok \(A D\) zawiera się w prostej o równaniu \(y=3 x-6\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(B=(4,2)\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2025-pp-61.png]

Szuka się współrzędnych wierzchołka B równoległoboku ABCD.

## Krok 2: Znalezienie wierzchołka A

Wierzchołek A leży na przecięciu boków AB i AD, czyli na przecięciu prostych:
- $$y = x - 2$$
- $$y = 3x - 6$$

Przyrównuje się:
$$x - 2 = 3x - 6$$
$$-2 + 6 = 3x - x$$
$$4 = 2x$$
$$x = 2$$

Podstawia się do pierwszego równania:
$$y = 2 - 2 = 0$$

Zatem $$A = (2, 0)$$

## Krok 3: Wykorzystanie własności przekątnych równoległoboku

Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości. Punkt S jest środkiem obu przekątnych AC i BD.

Punkt S jest środkiem przekątnej AC, więc:
$$S = \frac{A + C}{2}$$

Wyznacza się współrzędne punktu C:
$$\left(\frac{11}{2}, \frac{17}{2}\right) = \frac{(2, 0) + C}{2}$$

$$\left(\frac{11}{2}, \frac{17}{2}\right) = \left(\frac{2 + x_C}{2}, \frac{0 + y_C}{2}\right)$$

Stąd:
$$\frac{2 + x_C}{2} = \frac{11}{2} \implies x_C = 11 - 2 = 9$$
$$\frac{y_C}{2} = \frac{17}{2} \implies y_C = 17$$

Więc $$C = (9, 17)$$

## Krok 4: Znalezienie wierzchołka B

Punkt B leży na prostej AB: $$y = x - 2$$

Punkt S jest środkiem przekątnej BD:
$$S = \frac{B + D}{2}$$

Punkt D leży na prostej AD: $$y = 3x - 6$$

Niech $$B = (b, b-2)$$ (bo leży na prostej AB)

Niech $$D = (d, 3d-6)$$ (bo leży na prostej AD)

Z warunku na środek przekątnej BD:
$$\left(\frac{11}{2}, \frac{17}{2}\right) = \frac{(b, b-2) + (d, 3d-6)}{2}$$

To daje układ równań:
$$\frac{b + d}{2} = \frac{11}{2} \implies b + d = 11$$
$$\frac{(b-2) + (3d-6)}{2} = \frac{17}{2} \implies b + 3d - 8 = 17 \implies b + 3d = 25$$

Odejmuje się pierwsze równanie od drugiego:
$$(b + 3d) - (b + d) = 25 - 11$$
$$2d = 14$$
$$d = 7$$

Podstawia się do pierwszego równania:
$$b + 7 = 11$$
$$b = 4$$

Zatem $$B = (4, 4-2) = (4, 2)$$

## Sprawdzenie

- $$A = (2, 0)$$, $$B = (4, 2)$$, $$C = (9, 17)$$, $$D = (7, 15)$$
- Środek AC: $$\left(\frac{2+9}{2}, \frac{0+17}{2}\right) = \left(\frac{11}{2}, \frac{17}{2}\right)$$ ✓
- Środek BD: $$\left(\frac{4+7}{2}, \frac{2+15}{2}\right) = \left(\frac{11}{2}, \frac{17}{2}\right)$$ ✓

**Odpowiedź: $$B = (4, 2)$$**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp