---
route: /task/cke-2025-pp-60
title: Zadanie cke-2025-pp-60
source: CKE 2025 PP
category: Geometria analityczna
points: 3
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-60

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), punkty \(A=(-1,-5)\), \(B=(2,-7), C=(6,9)\) i \(D=(-2,9)\) są wierzchołkami czworokąta \(ABCD\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych czworokąta \(ABCD\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(P=\left(\frac{2}{3},-\frac{5}{3}\right)\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2025-pp-60.png]

Wyznacza się punkt przecięcia przekątnych czworokąta \(ABCD\).

## Krok 2: Identyfikacja przekątnych

Przekątne czworokąta \(ABCD\) to odcinki łączące przeciwległe wierzchołki:
- Przekątna \(AC\) łączy punkty \(A=(-1,-5)\) i \(C=(6,9)\)
- Przekątna \(BD\) łączy punkty \(B=(2,-7)\) i \(D=(-2,9)\)

## Krok 3: Równanie prostej \(AC\)

Wyznacza się równanie prostej przechodzącej przez \(A=(-1,-5)\) i \(C=(6,9)\).

Współczynnik kierunkowy:
$$a_{AC} = \frac{9-(-5)}{6-(-1)} = \frac{14}{7} = 2$$

Równanie prostej \(AC\):
$$y - (-5) = 2(x - (-1))$$
$$y + 5 = 2(x + 1)$$
$$y = 2x + 2 - 5$$
$$y = 2x - 3$$

## Krok 4: Równanie prostej \(BD\)

Wyznacza się równanie prostej przechodzącej przez \(B=(2,-7)\) i \(D=(-2,9)\).

Współczynnik kierunkowy:
$$a_{BD} = \frac{9-(-7)}{-2-2} = \frac{16}{-4} = -4$$

Równanie prostej \(BD\):
$$y - (-7) = -4(x - 2)$$
$$y + 7 = -4x + 8$$
$$y = -4x + 1$$

## Krok 5: Punkt przecięcia przekątnych

Rozwiązuje się układ równań:
$$\begin{cases}
y = 2x - 3 \\
y = -4x + 1
\end{cases}$$

Przyrównuje prawe strony:
$$2x - 3 = -4x + 1$$
$$2x + 4x = 1 + 3$$
$$6x = 4$$
$$x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Podstawia do pierwszego równania:
$$y = 2 \cdot \frac{2}{3} - 3 = \frac{4}{3} - \frac{9}{3} = -\frac{5}{3}$$

## Odpowiedź

Punkt przecięcia przekątnych czworokąta \(ABCD\) to:
$$P = \left(\frac{2}{3}, -\frac{5}{3}\right)$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp