---
route: /task/cke-2025-pp-55
title: Zadanie cke-2025-pp-55
source: CKE 2025 PP
category: Trygonometria
points: 3
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-55

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt \(ABC\) o bokach długości: \(|AB| = 4\), \(|BC| = 5\), \(|AC| = 6\). Oblicz sinus najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta \(ABC\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{\sqrt{7}}{4}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2025-pp-55.png]

## Krok 2: Identyfikacja najmniejszego kąta

W trójkącie najmniejszy kąt leży naprzeciwko najkrótszego boku.

Boki trójkąta: \(|AB| = 4\), \(|BC| = 5\), \(|AC| = 6\)

Najkrótszy bok to \(|AB| = 4\), więc najmniejszy kąt to \(\angle ACB\) (kąt przy wierzchołku \(C\)).

## Krok 3: Obliczenie cosinusa kąta przy \(C\)

Stosujemy twierdzenie cosinusów dla boku \(AB\):

$$|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |BC| \cdot \cos(\angle ACB)$$

Podstawiamy wartości:

$$4^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos(\angle ACB)$$

$$16 = 36 + 25 - 60 \cdot \cos(\angle ACB)$$

$$16 = 61 - 60 \cdot \cos(\angle ACB)$$

$$60 \cdot \cos(\angle ACB) = 61 - 16$$

$$60 \cdot \cos(\angle ACB) = 45$$

$$\cos(\angle ACB) = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$$

## Krok 4: Obliczenie sinusa z jedynki trygonometrycznej

Korzystamy z tożsamości: \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\)

$$\sin^2(\angle ACB) = 1 - \cos^2(\angle ACB)$$

$$\sin^2(\angle ACB) = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2$$

$$\sin^2(\angle ACB) = 1 - \frac{9}{16}$$

$$\sin^2(\angle ACB) = \frac{16 - 9}{16} = \frac{7}{16}$$

Ponieważ kąt w trójkącie jest ostry (cosinus dodatni), to:

$$\sin(\angle ACB) = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$$

## Odpowiedź

Sinus najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta \(ABC\) wynosi \(\frac{\sqrt{7}}{4}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp