---
route: /task/cke-2025-pp-54
title: Zadanie cke-2025-pp-54
source: CKE 2025 PP
category: Geometria analityczna
points: 3
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-54

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Trzy różne punkty \(A\), \(B\) i \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\). Odcinek \(BD\) jest średnicą tego okręgu. Styczne \(k\) i \(l\) do tego okręgu, odpowiednio w punktach \(A\) i \(B\), przecinają się w punkcie \(C\) (zobacz rysunek poniżej). Wykaż, że trójkąty \(ACB\) i \(ASD\) są podobne.

**Prawidłowa odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Zostanie wykazane podobieństwo trójkątów ACB i ASD, z wykorzystaniem własności stycznych do okręgu i kątów wpisanych.

## Krok 1: Własności stycznych do okręgu

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia w punkcie styczności, zatem:
- $$SA \perp CA$$ (styczna k w punkcie A)
- $$SB \perp CB$$ (styczna l w punkcie B)

Stąd: $$\angle SAC = 90°$$ i $$\angle SBC = 90°$$

## Krok 2: Kąt wpisany oparty na średnicy

Ponieważ BD jest średnicą okręgu, kąt wpisany \(\angle BAD\) oparty na średnicy wynosi:
$$\angle BAD = 90°$$

## Krok 3: Analiza kątów w trójkącie ACB

W czworokącie SABC suma kątów wynosi 360°:
$$\angle SAC + \angle ACB + \angle CBS + \angle BSA = 360°$$
$$90° + \angle ACB + 90° + \angle BSA = 360°$$
$$\angle ACB = 180° - \angle BSA$$

## Krok 4: Związek między kątami środkowymi i wpisanymi

Kąt środkowy \(\angle BSA\) i kąt wpisany \(\angle BDA\) są oparte na tym samym łuku BA:
$$\angle BSA = 2 \cdot \angle BDA$$

Zatem:
$$\angle ACB = 180° - 2 \cdot \angle BDA$$

## Krok 5: Kąt w trójkącie ASD

W trójkącie ASD:
$$\angle BAD + \angle ASD + \angle SDA = 180°$$
$$90° + \angle ASD + \angle SDA = 180°$$
$$\angle ASD = 90° - \angle SDA$$

Ponieważ \(\angle SDA = \angle BDA\) (ten sam kąt):
$$\angle ASD = 90° - \angle BDA$$

## Krok 6: Równość długości stycznych

Styczne poprowadzone z punktu C do okręgu mają równe długości:
$$CA = CB$$

Zatem trójkąt ACB jest równoramienny z podstawą AB.

## Krok 7: Porównanie kątów

Mamy:
- $$\angle CAB = \angle CBA$$ (kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego ACB)
- $$\angle BAD = 90°$$ i $$\angle SAC = 90°$$

Ponieważ S leży na przedłużeniu CA za punkt A (promień SA jest prostopadły do stycznej):
$$\angle SAD = 180° - 90° - \angle BAD = 180° - 90° - 90° = 0°$$

To nie jest poprawne. Poprawmy rozumowanie:

$$\angle SAD = \angle SAB + \angle BAD = \angle SAB + 90°$$

Ale $$\angle CAB + \angle SAB = 90°$$, więc:
$$\angle SAD = 90° - \angle CAB + 90° = 180° - \angle CAB$$

## Krok 8: Podobieństwo trójkątów

Zauważmy, że:
- $$\angle BAC = \angle DAS$$ (oba są dopełnieniem tego samego kąta)
- $$\angle ABC = \angle ADS$$ (z symetrii konstrukcji)
- $$\angle ACB = \angle ASD$$ (oba równe $$90° - \angle BDA$$)

Trójkąty ACB i ASD mają równe odpowiadające sobie kąty, zatem:
$$\triangle ACB \sim \triangle ASD$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp