---
route: /task/cke-2025-pp-53
title: Zadanie cke-2025-pp-53
source: CKE 2025 PP
category: Funkcja kwadratowa
points: 3
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-53

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest prostokąt \(ABCD\), w którym \(|AD| = 2\). Kąt \(BDA\) ma miarę \(\alpha\), taką, że \(\operatorname{tg} \alpha = 2\). Przekątna \(BD\) i prosta przechodząca przez wierzchołek \(C\) prostopadła do \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\) (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka \(CE\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(|CE|=\frac{4\sqrt{5}}{5}\) lub \(|CE|=\frac{4}{\sqrt{5}}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oznaczmy wymiary prostokąta i ustalmy układ współrzędnych.

## Krok 1: Analiza danych i wymiary prostokąta

Mamy prostokąt \(ABCD\) z \(|AD| = 2\).

W trójkącie prostokątnym \(ABD\) (kąt prosty przy \(A\)):
- \(\angle BDA = \alpha\)
- \(\operatorname{tg} \alpha = 2\)

Ponieważ \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{|AB|}{|AD|}\), to:

$$\frac{|AB|}{2} = 2$$

$$|AB| = 4$$

## Krok 2: Ustalenie układu współrzędnych

Umieśćmy prostokąt w układzie współrzędnych:
- \(A = (0, 0)\)
- \(B = (4, 0)\)
- \(C = (4, 2)\)
- \(D = (0, 2)\)

## Krok 3: Wyznaczenie równania prostej \(BD\)

Prosta \(BD\) przechodzi przez punkty \(B = (4, 0)\) i \(D = (0, 2)\).

Współczynnik kierunkowy:
$$k_{BD} = \frac{2 - 0}{0 - 4} = -\frac{1}{2}$$

Równanie prostej \(BD\):
$$y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 4)$$
$$y = -\frac{1}{2}x + 2$$

## Krok 4: Wyznaczenie prostej prostopadłej do \(BD\) przechodzącej przez \(C\)

Prosta prostopadła do \(BD\) ma współczynnik kierunkowy:
$$k_{\perp} = -\frac{1}{k_{BD}} = -\frac{1}{-\frac{1}{2}} = 2$$

Prosta przechodząca przez \(C = (4, 2)\) z współczynnikiem \(k = 2\):
$$y - 2 = 2(x - 4)$$
$$y = 2x - 6$$

## Krok 5: Wyznaczenie punktu przecięcia \(E\)

Punkt \(E\) jest przecięciem prostych \(BD\) i prostej prostopadłej:
$$-\frac{1}{2}x + 2 = 2x - 6$$
$$8 = 2x + \frac{1}{2}x$$
$$8 = \frac{5}{2}x$$
$$x = \frac{16}{5}$$

$$y = 2 \cdot \frac{16}{5} - 6 = \frac{32}{5} - \frac{30}{5} = \frac{2}{5}$$

Więc \(E = \left(\frac{16}{5}, \frac{2}{5}\right)\).

## Krok 6: Obliczenie długości \(|CE|\)

$$|CE| = \sqrt{\left(4 - \frac{16}{5}\right)^2 + \left(2 - \frac{2}{5}\right)^2}$$

$$= \sqrt{\left(\frac{20 - 16}{5}\right)^2 + \left(\frac{10 - 2}{5}\right)^2}$$

$$= \sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^2 + \left(\frac{8}{5}\right)^2}$$

$$= \sqrt{\frac{16}{25} + \frac{64}{25}}$$

$$= \sqrt{\frac{80}{25}} = \frac{\sqrt{80}}{5} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$$

**Odpowiedź:** \(|CE| = \frac{4\sqrt{5}}{5} = \frac{4}{\sqrt{5}}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp