---
route: /task/cke-2025-pp-52
title: Zadanie cke-2025-pp-52
source: CKE 2025 PP
category: Planimetria
points: 3
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-52

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa można udowodnić bardziej ogólną własność niż ta, o której mówi samo to twierdzenie. Rozważmy trójkąt prostokątny \(ABC\) o kącie prostym przy wierzchołku \(A\). Niech każdy z boków tego trójkąta: \(CA\), \(AB\), \(BC\) będzie podstawą trójkątów podobnych, odpowiednio: \(CAW_1\), \(ABW_2\), \(CBW_3\). Trójkąty te mają odpowiadające sobie kąty o równych miarach, odpowiednio przy wierzchołkach: \(W_1, W_2, W_3\). Pola trójkątów: \(CAW_1\), \(ABW_2\), \(CBW_3\) oznaczymy odpowiednio jako \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\). Udowodnij, że: \[P_3=P_1+P_2\]

**Prawidłowa odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oznaczmy długości boków trójkąta prostokątnego \(ABC\):
- \(|CA| = b\) (przyprostokątna)
- \(|AB| = a\) (przyprostokątna)
- \(|BC| = c\) (przeciwprostokątna)

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$c^2 = a^2 + b^2$$

## Krok 1: Związek między polami trójkątów podobnych

Trójkąty \(CAW_1\), \(ABW_2\), \(CBW_3\) są podobne do siebie (mają odpowiadające kąty o równych miarach).

Dla trójkątów podobnych stosunek pól jest równy kwadratowi stosunku odpowiadających sobie boków.

## Krok 2: Wyrażenie pól przez podstawy

Ponieważ trójkąty są zbudowane na bokach \(CA\), \(AB\), \(BC\) jako podstawach i są wzajemnie podobne, to:

$$\frac{P_1}{P_3} = \frac{b^2}{c^2}$$

$$\frac{P_2}{P_3} = \frac{a^2}{c^2}$$

(stosunek pól = kwadrat stosunku odpowiadających podstaw)

## Krok 3: Wyrażenie \(P_1\) i \(P_2\) przez \(P_3\)

Z powyższych proporcji:
$$P_1 = P_3 \cdot \frac{b^2}{c^2}$$

$$P_2 = P_3 \cdot \frac{a^2}{c^2}$$

## Krok 4: Obliczenie sumy \(P_1 + P_2\)

$$P_1 + P_2 = P_3 \cdot \frac{b^2}{c^2} + P_3 \cdot \frac{a^2}{c^2}$$

$$P_1 + P_2 = P_3 \cdot \frac{b^2 + a^2}{c^2}$$

## Krok 5: Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa

Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że \(a^2 + b^2 = c^2\), zatem:

$$P_1 + P_2 = P_3 \cdot \frac{c^2}{c^2} = P_3 \cdot 1 = P_3$$

## Wniosek

$$P_3 = P_1 + P_2$$

co kończy dowód. ■

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp