---
route: /task/cke-2025-pp-51
title: Zadanie cke-2025-pp-51
source: CKE 2025 PP
category: Geometria analityczna
points: 3
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-51

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt \(ABC\). Na boku \(AB\) tego trójkąta wybrano punkt \(D\), taki, że \(|AD| = \frac{1}{4}|AB|\), a na boku \(BC\) wybrano taki punkt \(E\), że \(|BE| = \frac{1}{5}|BC|\) (zobacz rysunek poniżej). Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(20\). Oblicz pole trójkąta \(DBE\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(P=3\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Rozwiązujmy zadanie wykorzystując związki między polami trójkątów o wspólnej wysokości.

## Analiza sytuacji

Dane:
- $$|AD| = \frac{1}{4}|AB|$$
- $$|BE| = \frac{1}{5}|BC|$$
- $$P_{ABC} = 20$$

Szukane: $$P_{DBE}$$

## Krok 1: Wyznaczenie długości odcinka DB

Skoro $$|AD| = \frac{1}{4}|AB|$$, to:

$$|DB| = |AB| - |AD| = |AB| - \frac{1}{4}|AB| = \frac{3}{4}|AB|$$

## Krok 2: Obliczenie pola trójkąta DBC

Trójkąty $$DBC$$ i $$ABC$$ mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka $$C$$ na podstawę $$AB$$ (lub jej przedłużenie).

Stosunek ich pól jest równy stosunkowi podstaw:

$$\frac{P_{DBC}}{P_{ABC}} = \frac{|DB|}{|AB|} = \frac{\frac{3}{4}|AB|}{|AB|} = \frac{3}{4}$$

Zatem:

$$P_{DBC} = \frac{3}{4} \cdot 20 = 15$$

## Krok 3: Obliczenie pola trójkąta DBE

Trójkąty $$DBE$$ i $$DBC$$ mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka $$D$$ na podstawę $$BC$$ (lub jej przedłużenie).

Stosunek ich pól jest równy stosunkowi podstaw:

$$\frac{P_{DBE}}{P_{DBC}} = \frac{|BE|}{|BC|} = \frac{\frac{1}{5}|BC|}{|BC|} = \frac{1}{5}$$

Zatem:

$$P_{DBE} = \frac{1}{5} \cdot 15 = 3$$

## Odpowiedź

Pole trójkąta $$DBE$$ wynosi $$P_{DBE} = 3$$.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp