---
route: /task/cke-2025-pp-50
title: Zadanie cke-2025-pp-50
source: CKE 2025 PP
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie cke-2025-pp-50

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt prostokątny \(A B C\) o bokach \(|A C|=12,|B C|=5,|A B|=13\). Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Odległość \(x\) punktu \(P\) od przeciwprostokątnej \(AB\) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( 1 \)
- **B.** \( 2 \)
- **C.** \( \frac{5}{2} \)
- **D.** \( \frac{20}{13} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Sprawdza się, który bok jest przeciwprostokątną i gdzie znajduje się kąt prosty.

**Krok 1: Identyfikacja trójkąta**

Sprawdza się twierdzenie Pitagorasa:
$$|AC|^2 + |BC|^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 = 13^2 = |AB|^2$$

Zatem kąt prosty jest przy wierzchołku \(C\), a przeciwprostokątna to \(AB\).

**Krok 2: Punkt przecięcia dwusiecznych**

Punkt \(P\) to środek okręgu wpisanego w trójkąt. Odległość \(x\) od przeciwprostokątnej \(AB\) to promień \(r\) okręgu wpisanego.

**Krok 3: Obliczenie promienia okręgu wpisanego**

Dla trójkąta o bokach \(a, b, c\) i polu \(S\):
$$r = \frac{S}{s}$$

gdzie \(s\) to półobwód.

**Krok 4: Obliczenie pola trójkąta**

Dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(|AC| = 12\) i \(|BC| = 5\):
$$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$$

**Krok 5: Obliczenie półobwodu**

$$s = \frac{|AC| + |BC| + |AB|}{2} = \frac{12 + 5 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15$$

**Krok 6: Obliczenie promienia**

$$r = \frac{S}{s} = \frac{30}{15} = 2$$

**Alternatywny wzór dla trójkąta prostokątnego:**

Dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(a, b\) i przeciwprostokątnej \(c\):
$$r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{12 + 5 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Odległość punktu \(P\) od przeciwprostokątnej \(AB\) wynosi \(2\).

**Odpowiedź: B**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp