---
route: /task/cke-2025-pp-47
title: Zadanie cke-2025-pp-47
source: CKE 2025 PP
category: Potęgi i pierwiastki
points: 4
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-47

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wierzchołki \(A\) i \(C\) trójkąta \(ABC\) leżą na okręgu o promieniu \(r\). Środek \(S\) tego okręgu leży na boku \(AB\) tego trójkąta (zobacz rysunek poniżej). Długości boków \(AB\) i \(AC\) są równe odpowiednio \(|AB| = 3r\) oraz \(|AC| = \sqrt{3}r\). Oblicz miary wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta \(ABC\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(|\sphericalangle CAB| = 30^\circ\), \(|\sphericalangle ABC| = 30^\circ\), \(|\sphericalangle BCA| = 120^\circ\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Rozwiązuje się zadanie krok po kroku.

## Analiza danych

- Wierzchołki \(A\) i \(C\) leżą na okręgu o środku \(S\) i promieniu \(r\)
- Środek \(S\) leży na boku \(AB\)
- \(|AB| = 3r\)
- \(|AC| = \sqrt{3}r\)

## Krok 1: Wyznaczenie długości odcinków

Ponieważ \(A\) i \(C\) leżą na okręgu o środku \(S\) i promieniu \(r\):
$$|SA| = r \quad \text{oraz} \quad |SC| = r$$

Skoro \(S\) leży na boku \(AB\) i \(|AB| = 3r\), to:
$$|SB| = |AB| - |SA| = 3r - r = 2r$$

## Krok 2: Obliczenie kąta \(|\sphericalangle CAB|\)

W trójkącie \(ASC\) znamy wszystkie boki:
- \(|SA| = r\)
- \(|SC| = r\)
- \(|AC| = \sqrt{3}r\)

Z twierdzenia cosinusów w trójkącie \(ASC\):
$$|SC|^2 = |SA|^2 + |AC|^2 - 2|SA| \cdot |AC| \cdot \cos(\sphericalangle SAC)$$

$$r^2 = r^2 + (\sqrt{3}r)^2 - 2 \cdot r \cdot \sqrt{3}r \cdot \cos(\sphericalangle SAC)$$

$$r^2 = r^2 + 3r^2 - 2\sqrt{3}r^2 \cdot \cos(\sphericalangle SAC)$$

$$0 = 3r^2 - 2\sqrt{3}r^2 \cdot \cos(\sphericalangle SAC)$$

$$2\sqrt{3}r^2 \cdot \cos(\sphericalangle SAC) = 3r^2$$

$$\cos(\sphericalangle SAC) = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Zatem:
$$|\sphericalangle CAB| = |\sphericalangle SAC| = 30°$$

## Krok 3: Obliczenie kąta \(|\sphericalangle ABC|\)

W trójkącie \(SBC\) znamy wszystkie boki:
- \(|SB| = 2r\)
- \(|SC| = r\)
- \(|BC| = ?\) (obliczymy za pomocą tw. cosinusów w trójkącie \(ABC\))

Najpierw zauważmy, że trójkąt \(ASC\) jest równoramienny (\(|SA| = |SC| = r\)), więc:
$$|\sphericalangle SCA| = |\sphericalangle SAC| = 30°$$

A zatem:
$$|\sphericalangle ASC| = 180° - 30° - 30° = 120°$$

Kąt \(|\sphericalangle BSC|\) jest kątem przyległym do \(|\sphericalangle ASC|\):
$$|\sphericalangle BSC| = 180° - 120° = 60°$$

Teraz w trójkącie \(SBC\) stosujemy twierdzenie cosinusów:
$$|BC|^2 = |SB|^2 + |SC|^2 - 2|SB| \cdot |SC| \cdot \cos(\sphericalangle BSC)$$

$$|BC|^2 = (2r)^2 + r^2 - 2 \cdot 2r \cdot r \cdot \cos(60°)$$

$$|BC|^2 = 4r^2 + r^2 - 4r^2 \cdot \frac{1}{2} = 5r^2 - 2r^2 = 3r^2$$

$$|BC| = \sqrt{3}r$$

Zauważamy, że \(|BC| = |AC| = \sqrt{3}r\), więc trójkąt \(ABC\) jest równoramienny!

## Krok 4: Obliczenie pozostałych kątów

Ponieważ \(|AC| = |BC| = \sqrt{3}r\):
$$|\sphericalangle CAB| = |\sphericalangle ABC| = 30°$$

Suma kątów w trójkącie:
$$|\sphericalangle BCA| = 180° - 30° - 30° = 120°$$

## Odpowiedź

$$|\sphericalangle CAB| = 30°, \quad |\sphericalangle ABC| = 30°, \quad |\sphericalangle BCA| = 120°$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp