---
route: /task/cke-2025-pp-46
title: Zadanie cke-2025-pp-46
source: CKE 2025 PP
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-46

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W trójkącie \(ABC\) dane są długości dwóch boków \(|AB| = 12\), \(|BC| = 8\) oraz miara kąta \(|\sphericalangle ABC| = 60^\circ\). Oblicz długość środkowej tego trójkąta, poprowadzonej z wierzchołka \(A\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(4\sqrt{7}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2025-pp-46.png]

Oznaczmy:
- \(|AB| = c = 12\)
- \(|BC| = a = 8\)
- \(|\angle ABC| = 60°\)
- \(S\) – środek boku \(BC\)
- \(|AS|\) – środkowa z wierzchołka \(A\)

## Krok 2: Znajdźmy długość boku \(AC\)

Używamy twierdzenia cosinusów w trójkącie \(ABC\):

$$|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos(\angle ABC)$$

$$|AC|^2 = 12^2 + 8^2 - 2 \cdot 12 \cdot 8 \cdot \cos(60°)$$

$$|AC|^2 = 144 + 64 - 192 \cdot \frac{1}{2}$$

$$|AC|^2 = 208 - 96 = 112$$

$$|AC| = \sqrt{112} = 4\sqrt{7}$$

## Krok 3: Zastosujmy wzór na długość środkowej

Punkt \(S\) jest środkiem boku \(BC\), więc \(|BS| = |SC| = 4\).

Dla środkowej \(m_a\) poprowadzonej z wierzchołka \(A\) do środka boku \(BC\) używamy wzoru:

$$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$$

gdzie \(a = |BC|\), \(b = |AC|\), \(c = |AB|\).

$$|AS|^2 = \frac{2 \cdot |AC|^2 + 2 \cdot |AB|^2 - |BC|^2}{4}$$

$$|AS|^2 = \frac{2 \cdot 112 + 2 \cdot 144 - 64}{4}$$

$$|AS|^2 = \frac{224 + 288 - 64}{4}$$

$$|AS|^2 = \frac{448}{4} = 112$$

$$|AS| = \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$$

## Odpowiedź

Długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka \(A\) wynosi \(4\sqrt{7}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp