---
route: /task/cke-2025-pp-44
title: Zadanie cke-2025-pp-44
source: CKE 2025 PP
category: Planimetria
points: 4
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-44

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek połączonych wspólnym bokiem. Całość ma być ogrodzona płotem, przy czym obie działki będzie rozdzielał wspólny płot. W ogrodzeniu będą zamontowane dwie bramy wjazdowe, każda o szerokości \(10\) m (zobacz rysunek poniżej). Łączna długość płotu ogradzającego oraz rozdzielającego obie działki wyniesie \(580\) metrów, przy czym szerokości obu bram wjazdowych nie wliczają się w długość płotu. Oblicz wymiary \(x\) i \(y\) każdej z dwóch prostokątnych działek, tak aby całkowite pole powierzchni magazynowej było największe.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(x = 100\) m, \(y = 75\) m

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Krok 1: Analiza sytuacji i oznaczenia

Mamy dwie identyczne prostokątne działki o wymiarach $x$ i $y$, połączone wspólnym bokiem. Przyjmuje się, że:
- $x$ – szerokość każdej działki
- $y$ – długość każdej działki
- działki są połączone dłuższym bokiem (wzdłuż $y$)

## Krok 2: Ustalenie długości płotu

Analizuje się, które boki są ogrodzone:
- **Górna krawędź**: długość $2x$ (dwie działki obok siebie) minus dwie bramy po $10$ m: $2x - 20$
- **Dolna krawędź**: długość $2x$ (bez bram): $2x$
- **Lewa krawędź**: długość $y$
- **Prawa krawędź**: długość $y$
- **Środkowy płot**: rozdziela obie działki, długość $y$

## Krok 3: Równanie wiązania

Całkowita długość płotu:

$$(2x - 20) + 2x + y + y + y = 580$$

Upraszcza się:

$$4x - 20 + 3y = 580$$

$$4x + 3y = 600$$

Wyraża się $y$ przez $x$:

$$y = \frac{600 - 4x}{3} = 200 - \frac{4x}{3}$$

## Krok 4: Funkcja pola powierzchni

Całkowite pole powierzchni magazynowej (dwie działki):

$$P(x) = 2 \cdot x \cdot y = 2x \cdot \left(200 - \frac{4x}{3}\right)$$

$$P(x) = 400x - \frac{8x^2}{3}$$

## Krok 5: Znajdowanie maksimum

Liczy się pochodną:

$$P'(x) = 400 - \frac{16x}{3}$$

Przyrównuje się do zera:

$$400 - \frac{16x}{3} = 0$$

$$\frac{16x}{3} = 400$$

$$x = \frac{400 \cdot 3}{16} = \frac{1200}{16} = 75$$

## Krok 6: Obliczenie $y$

Podstawia się $x = 75$ do równania wiązania:

$$y = 200 - \frac{4 \cdot 75}{3} = 200 - \frac{300}{3} = 200 - 100 = 100$$

## Krok 7: Weryfikacja

Sprawdza się, czy to maksimum (pochodna druga):

$$P''(x) = -\frac{16}{3} < 0$$

Pochodna druga jest ujemna, więc mamy maksimum.

Sprawdza się długość płotu:
$$4 \cdot 75 + 3 \cdot 100 = 300 + 300 = 600$$ ✓

## Odpowiedź

Wymiary każdej z dwóch prostokątnych działek to: **$x = 75$ m, $y = 100$ m**

**Uwaga**: W treści zadania podano odpowiedź $x = 100$ m, $y = 75$ m, co sugeruje, że oznaczenia $x$ i $y$ były odwrotne (tzn. $x$ to długość, a $y$ to szerokość działki). Przy takich oznaczeniach otrzymujemy podaną odpowiedź.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp