---
route: /task/cke-2025-pp-43
title: Zadanie cke-2025-pp-43
source: CKE 2025 PP
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-43

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = \frac{1}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \ne 0\). Oblicz wartość \(m\), dla której liczby \(f(m)\), \(f(1)\), \(f(2)\) są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(m=\frac{1}{2}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Funkcja dana jest wzorem \(f(x) = \frac{1}{x}\) dla \(x \neq 0\).

## Krok 1: Obliczenie wartości funkcji

Oblicza się wartości funkcji w podanych punktach:

$$f(m) = \frac{1}{m}$$

$$f(1) = \frac{1}{1} = 1$$

$$f(2) = \frac{1}{2}$$

## Krok 2: Warunek ciągu geometrycznego

Liczby \(f(m)\), \(f(1)\), \(f(2)\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli:
$$\frac{1}{m}, \quad 1, \quad \frac{1}{2}$$

W ciągu geometrycznym iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów jest stały. Zatem:

$$\frac{f(1)}{f(m)} = \frac{f(2)}{f(1)}$$

## Krok 3: Podstawienie i rozwiązanie równania

Podstawia się wartości:

$$\frac{1}{\frac{1}{m}} = \frac{\frac{1}{2}}{1}$$

$$m = \frac{1}{2}$$

## Krok 4: Sprawdzenie

Dla \(m = \frac{1}{2}\) ciąg ma postać:

$$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2, \quad f(1) = 1, \quad f(2) = \frac{1}{2}$$

Sprawdza się iloraz:
- \(\frac{f(1)}{f(m)} = \frac{1}{2}\)
- \(\frac{f(2)}{f(1)} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}\)

Ilorazy są równe, więc jest to ciąg geometryczny o ilorazie \(q = \frac{1}{2}\).

**Odpowiedź:** \(m = \frac{1}{2}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp