---
route: /task/cke-2025-pp-42
title: Zadanie cke-2025-pp-42
source: CKE 2025 PP
category: Ciągi
points: 1
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-42

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 1
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. Ciąg \(\left(a_{n}\right)\) określony wzorem \(a_{n}=n^{2}-n\) dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) jest

**Prawidłowa odpowiedź:** A3

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Rozwiązuje się zadanie krok po kroku.

Dany jest ciąg \(a_n = n^2 - n\) dla \(n \geq 1\).

**Krok 1: Oblicza się kilka początkowych wyrazów**

$$a_1 = 1^2 - 1 = 0$$
$$a_2 = 2^2 - 2 = 2$$
$$a_3 = 3^2 - 3 = 6$$
$$a_4 = 4^2 - 4 = 12$$
$$a_5 = 5^2 - 5 = 20$$

**Krok 2: Sprawdza się różnice kolejnych wyrazów**

$$a_2 - a_1 = 2 - 0 = 2$$
$$a_3 - a_2 = 6 - 2 = 4$$
$$a_4 - a_3 = 12 - 6 = 6$$
$$a_5 - a_4 = 20 - 12 = 8$$

Różnice nie są stałe, więc ciąg **nie jest arytmetyczny**.

**Krok 3: Sprawdza się ilorazy kolejnych wyrazów**

$$\frac{a_2}{a_1} = \frac{2}{0}$$ – nieokreślone

Nie można obliczyć ilorazu, więc ciąg **nie jest geometryczny**.

**Krok 4: Sprawdza się monotoniczność**

Porównuje się \(a_{n+1}\) z \(a_n\):

$$a_{n+1} = (n+1)^2 - (n+1) = n^2 + 2n + 1 - n - 1 = n^2 + n$$

$$a_{n+1} - a_n = (n^2 + n) - (n^2 - n) = 2n$$

Dla każdego \(n \geq 1\): \(2n > 0\)

Zatem \(a_{n+1} > a_n\), co oznacza, że ciąg jest **rosnący**.

**Krok 5: Uzasadnienie rosnącego charakteru**

Przekształca się wzór:
$$a_n = n^2 - n = n(n-1)$$

Dla \(n \geq 2\): zarówno \(n > 0\) jak i \(n-1 > 0\), więc \(a_n > 0\) i ciąg rośnie.

Również \(a_{n+1} - a_n = 2n\), czyli różnica zwiększa się wraz ze wzrostem \(n\).

**Odpowiedź: A3**

Ciąg jest **rosnący**, ponieważ \(a_{n+1} - a_n = 2n > 0\) dla każdego \(n \geq 1\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp