---
route: /task/cke-2025-pp-41
title: Zadanie cke-2025-pp-41
source: CKE 2025 PP
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-41

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem ogólnym: \(a_n = 4n - 9\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Wykaż, że ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny.

**Prawidłowa odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Aby wykazać, że ciąg jest arytmetyczny, trzeba udowodnić, że różnica między dowolnymi dwoma kolejnymi wyrazami jest stała.

**Krok 1: Przypomnijmy definicję ciągu arytmetycznego**

Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny, gdy różnica \(a_{n+1} - a_n\) jest stała dla każdego \(n \in \mathbb{N}_+\).

**Krok 2: Oblicza się wyraz \(a_{n+1}\)**

Podstawia się \(n+1\) do wzoru ogólnego:
$$a_{n+1} = 4(n+1) - 9 = 4n + 4 - 9 = 4n - 5$$

**Krok 3: Oblicza się różnicę \(a_{n+1} - a_n\)**

$$a_{n+1} - a_n = (4n - 5) - (4n - 9)$$

$$a_{n+1} - a_n = 4n - 5 - 4n + 9$$

$$a_{n+1} - a_n = 4$$

**Krok 4: Wniosek**

Różnica \(a_{n+1} - a_n = 4\) jest stała (nie zależy od \(n\)) i wynosi 4 dla każdego \(n \in \mathbb{N}_+\).

Zatem na podstawie definicji ciągu arytmetycznego, ciąg \((a_n)\) o wzorze \(a_n = 4n - 9\) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy \(r = 4\).

**Co zostało wykazane:**
Udowodniliśmy, że \(a_{n+1} - a_n = 4 = \text{const}\), co jest warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby ciąg był arytmetyczny.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp