---
route: /task/cke-2025-pp-39
title: Zadanie cke-2025-pp-39
source: CKE 2025 PP
category: Logarytmy
points: 3
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-39

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Logarytmy
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Czas \(T\) połowicznego rozpadu izotopu promieniotwórczego to czas, po którym liczba jąder danego izotopu (a zatem i masa tego izotopu) zmniejsza się o połowę - tzn. połowa jąder danego izotopu przemienia się w inne jądra. Liczba jąder \(N(t)\) izotopu promieniotwórczego pozostających w próbce po czasie \(t\), licząc od chwili \(t_0 = 0\), wyraża się zależnością wykładniczą:
\[N(t)=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\]
gdzie \(N_0\) jest liczbą jąder izotopu promieniotwórczego w chwili początkowej \(t_0 = 0\).

Czas połowicznego rozpadu węgla \(^{14}\text{C}\) to około \(5700\) lat. Naukowcy oszacowali za pomocą datowania radiowęglowego, że masa izotopu węgla \(^{14}\text{C}\) w pewnym organicznym znalezisku archeologicznym stanowi \(\frac{1}{16}\) masy tego izotopu, jaka utrzymywała się podczas życia organizmu. Oblicz, ile lat (w zaokrągleniu do setek) upłynęło od śmierci tego organizmu.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(22\ 800\) lat

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oznaczmy przez $m_0$ początkową masę izotopu $^{14}\text{C}$ w organizmie (w momencie jego śmierci), a przez $m(t)$ masę tego izotopu po upływie $t$ lat.

## Wzór na rozpad radioaktywny

Masa izotopu maleje zgodnie ze wzorem:
$$m(t) = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$$

gdzie $T = 5700$ lat to czas połowicznego rozpadu.

## Podstawienie danych

Z treści zadania wiemy, że aktualna masa izotopu stanowi $\frac{1}{16}$ masy początkowej:
$$m(t) = \frac{1}{16} m_0$$

Podstawiamy do wzoru:
$$\frac{1}{16} m_0 = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5700}}$$

## Rozwiązanie równania

Dzielimy obie strony przez $m_0$:
$$\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5700}}$$

Zauważamy, że $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$, więc:
$$\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5700}}$$

Ponieważ podstawy są równe, wykładniki muszą być równe:
$$4 = \frac{t}{5700}$$

Mnożymy obie strony przez $5700$:
$$t = 4 \cdot 5700 = 22\ 800 \text{ lat}$$

## Odpowiedź

Znalezisko archeologiczne ma **22 800 lat**.

**Interpretacja:** Minęły cztery okresy połowicznego rozpadu, więc masa izotopu zmniejszyła się: 
$$m_0 \to \frac{m_0}{2} \to \frac{m_0}{4} \to \frac{m_0}{8} \to \frac{m_0}{16}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/logarytmy
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp