---
route: /task/cke-2025-pp-38
title: Zadanie cke-2025-pp-38
source: CKE 2025 PP
category: Funkcja wykładnicza
points: 1
type: closed
---

# Zadanie cke-2025-pp-38

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Funkcja wykładnicza
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Czas \(T\) połowicznego rozpadu izotopu promieniotwórczego to czas, po którym liczba jąder danego izotopu (a zatem i masa tego izotopu) zmniejsza się o połowę - tzn. połowa jąder danego izotopu przemienia się w inne jądra. Liczba jąder \(N(t)\) izotopu promieniotwórczego pozostających w próbce po czasie \(t\), licząc od chwili \(t_0 = 0\), wyraża się zależnością wykładniczą:
\[N(t)=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\]
gdzie \(N_0\) jest liczbą jąder izotopu promieniotwórczego w chwili początkowej \(t_0 = 0\).

Na poniższych rysunkach 1.-4. przedstawiono wykresy różnych zależności. Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wykres zależności wykładniczej \(N(t)\) - opisanej we wstępie do zadania - przedstawiono na

## Odpowiedzi

- **A.** rysunku 1.
- **B.** rysunku 2.
- **C.** rysunku 3.
- **D.** rysunku 4.

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

# Analiza wykresów funkcji wykładniczej

## Krok 1: Charakterystyka funkcji wykładniczej

Funkcja wykładnicza ma postać \(N(t) = a \cdot b^t\), gdzie:
- \(a > 0\) (wartość początkowa)
- \(b > 0\), \(b \neq 1\) (podstawa)

## Krok 2: Właściwości wykresu funkcji wykładniczej

Wykres funkcji wykładniczej charakteryzuje się:

**Dla \(b > 1\) (funkcja rosnąca):**
- wykres rośnie w sposób coraz szybszy (wzrost przyspiesza)
- przechodzi przez punkt \((0, a)\)
- dla \(t \to -\infty\) funkcja dąży do 0 (asymptota pozioma \(y = 0\))
- kształt przypomina literę "J" - początkowo rośnie wolno, potem coraz szybciej

**Dla \(0 < b < 1\) (funkcja malejąca):**
- wykres maleje w sposób coraz wolniejszy
- dla \(t \to +\infty\) funkcja dąży do 0

## Krok 3: Identyfikacja właściwego wykresu

Typowy wykres wzrostu wykładniczego (np. liczby bakterii, rozpad promieniotwórczy w odwrotnym kierunku):
- zaczyna się od pewnej wartości początkowej
- rośnie coraz szybciej (krzywizna skierowana do góry)
- ma charakterystyczny kształt "eksponencjalny"

**Rysunek 1** przedstawia właśnie taki wykres:
- funkcja rośnie
- tempo wzrostu się zwiększa (krzywa wypukła w górę)
- to klasyczny kształt funkcji wykładniczej z podstawą większą od 1

## Krok 4: Wykluczenie innych opcji

Pozostałe wykresy mogą przedstawiać:
- funkcje liniowe (stały wzrost)
- funkcje kwadratowe
- funkcje logarytmiczne
- inne typy zależności

ale nie mają charakterystycznego "wykładniczego" kształtu.

**Odpowiedź: A**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-wykladnicza
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp