---
route: /task/cke-2025-pp-33
title: Zadanie cke-2025-pp-33
source: CKE 2025 PP
category: Funkcja kwadratowa
points: 6
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-33

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 6
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem rzutu - przy pominięciu oporów powietrza - jest fragment paraboli. Koszykarz wykonał rzut do kosza z odległości \(x_k=7{,}01\) m, licząc od środka piłki do środka obręczy kosza w linii poziomej. Do opisu toru ruchu przyjmiemy układ współrzędnych, w którym środek piłki w chwili początkowej znajdował się w punkcie \(x_0=0\), \(y_0 = 2{,}50\) m. Środek piłki podczas rzutu poruszał się po paraboli danej równaniem:
\[y = -0{,}174x^2 + 1{,}3x + 2{,}5\]
Rzut okazał się udany, a środek piłki przeszedł dokładnie przez środek kołowej obręczy kosza. Na rysunku poniżej przedstawiono tę sytuację oraz tor ruchu piłki w układzie współrzędnych.

a) Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Obręcz kosza znajduje się na wysokości (podanej w zaokrągleniu z dokładnością do \(0{,}01\) m):
A. \(3{,}04\) m
B. \(3{,}06\) m
C. \(3{,}80\) m
D. \(4{,}93\) m

b) Oblicz wysokość maksymalną, na jaką wzniesie się środek piłki podczas opisanego rzutu. Zapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.

c) W opisanym rzucie piłka przeleciała swobodnie przez obręcz kosza i upadła na parkiet. Przyjmij, że obręcz kosza nie miała siatki, a na drodze rzutu nie było żadnej przeszkody. Promień piłki jest równy \(0{,}12\) m. Oblicz współrzędną \(x\) punktu środka piłki w momencie, w którym piłka dotknęła parkietu. Zapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.

**Prawidłowa odpowiedź:** a) \(3{,}06\) m
b) \(4{,}93\) m
c) \(x \approx 8{,}99\) m

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## a) Wysokość obręczy kosza

Obręcz kosza znajduje się w punkcie \(x_k = 7{,}01\) m. Podstawiamy do równania toru:

$$y(7{,}01) = -0{,}174 \cdot 7{,}01^2 + 1{,}3 \cdot 7{,}01 + 2{,}5$$

$$= -0{,}174 \cdot 49{,}1401 + 9{,}113 + 2{,}5$$

$$= -8{,}5504 + 9{,}113 + 2{,}5$$

$$= 3{,}0626 \approx 3{,}06 \text{ m}$$

**Odpowiedź: B** (\(3{,}06\) m)

## b) Maksymalna wysokość toru

Wyznaczamy wierzchołek paraboli \(y = -0{,}174x^2 + 1{,}3x + 2{,}5\).

Współrzędna \(x\) wierzchołka:
$$x_w = -\frac{b}{2a} = -\frac{1{,}3}{2 \cdot (-0{,}174)} = \frac{1{,}3}{0{,}348} \approx 3{,}7356$$

Maksymalna wysokość:
$$y_w = -0{,}174 \cdot 3{,}7356^2 + 1{,}3 \cdot 3{,}7356 + 2{,}5$$

$$= -0{,}174 \cdot 13{,}9547 + 4{,}8563 + 2{,}5$$

$$= -2{,}4281 + 4{,}8563 + 2{,}5$$

$$= 4{,}9282 \approx 4{,}93 \text{ m}$$

**Odpowiedź:** Maksymalna wysokość wynosi \(4{,}93\) m.

## c) Współrzędna x w momencie dotknięcia parkietu

Piłka dotyka parkietu, gdy dolny punkt piłki znajduje się na poziomie \(y = 0\). Ponieważ promień piłki wynosi \(r = 0{,}12\) m, środek piłki jest wtedy na wysokości:
$$y_{\text{środka}} = 0{,}12$$

Rozwiązujemy równanie:
$$-0{,}174x^2 + 1{,}3x + 2{,}5 = 0{,}12$$

$$-0{,}174x^2 + 1{,}3x + 2{,}38 = 0$$

Mnożymy przez \((-1)\):
$$0{,}174x^2 - 1{,}3x - 2{,}38 = 0$$

Obliczamy deltę:
$$\Delta = (-1{,}3)^2 - 4 \cdot 0{,}174 \cdot (-2{,}38)$$

$$= 1{,}69 + 1{,}6563 = 3{,}3463$$

$$\sqrt{\Delta} \approx 1{,}8293$$

Dwa rozwiązania:
$$x = \frac{1{,}3 \pm 1{,}8293}{2 \cdot 0{,}174} = \frac{1{,}3 \pm 1{,}8293}{0{,}348}$$

Bierzemy rozwiązanie dodatnie (piłka jest za koszem):
$$x = \frac{1{,}3 + 1{,}8293}{0{,}348} = \frac{3{,}1293}{0{,}348} \approx 8{,}99$$

**Odpowiedź:** \(x \approx 8{,}99\) m

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp