---
route: /task/cke-2025-pp-31
title: Zadanie cke-2025-pp-31
source: CKE 2025 PP
category: Geometria analityczna
points: 4
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-31

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Funkcja \(f\) jest określona następująco: \[ f(x)= \begin{cases}x+4 & \text { dla } x \in[-8,0] \\ 4 & \text { dla } x \in(0,4] \\ -2 x+12 & \text { dla } x \in(4,6)\end{cases} \] Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) na rysunku poniżej. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach tak, aby zdania były prawdziwe. Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział \(............\) . Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \(............\) . Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości nieujemne, jest przedział \(............\) . Zbiorem wszystkich rozwiązań równania \(f(x)=4\) jest przedział \(............\) .

**Prawidłowa odpowiedź:** Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział \([-8,6)\) .Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \([-4,4]\) .Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości nieujemne, jest przedział \([-4,6)\) .Zbiorem wszystkich rozwiązań równania \(f(x)=4\) jest przedział \([0,4]\) .

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

# Analiza funkcji przedziałami określonej

## 1. Dziedzina funkcji f

Funkcja jest określona dla trzech przedziałów:
- $$x \in [-8, 0]$$
- $$x \in (0, 4]$$
- $$x \in (4, 6)$$

Dziedzina to suma wszystkich tych przedziałów:
$$D_f = [-8, 0] \cup (0, 4] \cup (4, 6) = [-8, 6)$$

**Dziedzina: \([-8, 6)\)**

## 2. Zbiór wartości funkcji f

Analizujemy wartości w każdym przedziale:

**Dla \(x \in [-8, 0]\):** \(f(x) = x + 4\)
- Gdy \(x = -8\): \(f(-8) = -8 + 4 = -4\)
- Gdy \(x = 0\): \(f(0) = 0 + 4 = 4\)
- Funkcja liniowa rosnąca, więc \(f(x) \in [-4, 4]\)

**Dla \(x \in (0, 4]\):** \(f(x) = 4\)
- Funkcja stała, więc \(f(x) = 4\)

**Dla \(x \in (4, 6)\):** \(f(x) = -2x + 12\)
- Gdy \(x \to 4^+\): \(f(x) \to -2(4) + 12 = 4\)
- Gdy \(x \to 6^-\): \(f(x) \to -2(6) + 12 = 0\)
- Funkcja liniowa malejąca, więc \(f(x) \in (0, 4)\)

Zbiór wartości to suma: \([-4, 4] \cup \{4\} \cup (0, 4) = [-4, 4]\)

**Zbiór wartości: \([-4, 4]\)**

## 3. Argumenty, dla których f(x) ≥ 0

**Dla \(x \in [-8, 0]\):** \(f(x) = x + 4 \geq 0\)
$$x + 4 \geq 0 \implies x \geq -4$$
Przecięcie z dziedziną: \(x \in [-4, 0]\)

**Dla \(x \in (0, 4]\):** \(f(x) = 4 \geq 0\) ✓
Wszystkie \(x \in (0, 4]\) spełniają warunek

**Dla \(x \in (4, 6)\):** \(f(x) = -2x + 12 \geq 0\)
$$-2x + 12 \geq 0 \implies x \leq 6$$
Wszystkie \(x \in (4, 6)\) spełniają warunek

Suma przedziałów: \([-4, 0] \cup (0, 4] \cup (4, 6) = [-4, 6)\)

**Argumenty z \(f(x) \geq 0\): \([-4, 6)\)**

## 4. Rozwiązania równania f(x) = 4

**Dla \(x \in [-8, 0]\):** \(x + 4 = 4\)
$$x = 0 \in [-8, 0]$$ ✓

**Dla \(x \in (0, 4]\):** \(f(x) = 4\)
Wszystkie \(x \in (0, 4]\) spełniają równanie ✓

**Dla \(x \in (4, 6)\):** \(-2x + 12 = 4\)
$$-2x = -8 \implies x = 4$$
Ale \(4 \notin (4, 6)\) ✗

Zbiór rozwiązań: \(\{0\} \cup (0, 4] = [0, 4]\)

**Rozwiązania \(f(x) = 4\): \([0, 4]\)**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp