---
route: /task/cke-2025-pp-20
title: Zadanie cke-2025-pp-20
source: CKE 2025 PP
category: Wyrażenia algebraiczne
points: 3
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-20

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Wyrażenia algebraiczne
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Rozważmy takie liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\), które spełniają warunki:\[a\ne 0,\ b\ne 0\quad \text{oraz}\quad a^3+b^3=(a+b)^3\] Oblicz wartość liczbową wyrażenia \(\frac{a}{b}\) dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\), spełniających powyższe warunki.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(-1\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Mamy dane warunki: \(a \neq 0\), \(b \neq 0\) oraz \(a^3 + b^3 = (a+b)^3\).

**Krok 1:** Rozwija się prawą stronę równania.

Używa się wzoru na sześcian sumy:
$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

**Krok 2:** Podstawia się do równania z warunków.

$$a^3 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

**Krok 3:** Upraszcza się równanie.

Odejmuje się \(a^3 + b^3\) od obu stron:
$$0 = 3a^2b + 3ab^2$$

**Krok 4:** Wyciągam wspólny czynnik.

$$3a^2b + 3ab^2 = 0$$
$$3ab(a + b) = 0$$

**Krok 5:** Analizuje się możliwe przypadki.

Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest zerem:
- \(3 = 0\) — niemożliwe
- \(a = 0\) — wykluczone z warunków zadania
- \(b = 0\) — wykluczone z warunków zadania
- \(a + b = 0\) — to jest jedyna możliwość

**Krok 6:** Rozwiązuje się równanie \(a + b = 0\).

$$a + b = 0$$
$$a = -b$$

**Krok 7:** Oblicza się \(\frac{a}{b}\).

$$\frac{a}{b} = \frac{-b}{b} = -1$$

Ponieważ \(b \neq 0\) (z warunków zadania), dzielenie jest dozwolone.

**Weryfikacja:** Sprawdza się czy \(a = -b\) spełnia warunek \(a^3 + b^3 = (a+b)^3\):
- Lewa strona: \((-b)^3 + b^3 = -b^3 + b^3 = 0\)
- Prawa strona: \((-b + b)^3 = 0^3 = 0\) ✓

**Odpowiedź:** \(\frac{a}{b} = -1\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/wyrazenia-algebraiczne
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp