---
route: /task/cke-2025-pp-18
title: Zadanie cke-2025-pp-18
source: CKE 2025 PP
category: Równania i nierówności
points: 3
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-18

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dane jest równanie \[ \frac{2}{2 x+1}=\frac{x-1}{x+2} \] Wyznacz dziedzinę tego równania. Rozwiąż to równanie.

**Prawidłowa odpowiedź:** Dziedzina: \(x\ne-\frac{1}{2}\) i \(x\ne -2\)Rozwiązania: \(x=-1\) oraz \(x=\frac{5}{2}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

# Dziedzina równania

Dziedzina to zbiór wartości \(x\), dla których obie strony równania są określone.

Równanie nie jest określone, gdy mianowniki są równe zero:
- Lewa strona: \(2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}\)
- Prawa strona: \(x + 2 = 0 \implies x = -2\)

**Dziedzina:** \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}, -2\}\), czyli \(x \neq -\frac{1}{2}\) i \(x \neq -2\)

# Rozwiązanie równania

Mnożymy obie strony przez \((2x+1)(x+2)\) (możemy to zrobić, bo w dziedzinie te wyrażenia są różne od zera):

$$2(x+2) = (x-1)(2x+1)$$

Rozwijamy lewą stronę:
$$2x + 4$$

Rozwijamy prawą stronę:
$$(x-1)(2x+1) = 2x^2 + x - 2x - 1 = 2x^2 - x - 1$$

Otrzymujemy równanie:
$$2x + 4 = 2x^2 - x - 1$$

Przenosimy wszystko na jedną stronę:
$$0 = 2x^2 - x - 1 - 2x - 4$$

$$2x^2 - 3x - 5 = 0$$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe. Obliczamy wyróżnik:
$$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$$

$$\sqrt{\Delta} = 7$$

Obliczamy pierwiastki:
$$x_1 = \frac{3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$$

$$x_2 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$$

Sprawdzamy, czy oba rozwiązania należą do dziedziny:
- \(x_1 = -1 \neq -\frac{1}{2}\) i \(x_1 = -1 \neq -2\) ✓
- \(x_2 = \frac{5}{2} \neq -\frac{1}{2}\) i \(x_2 = \frac{5}{2} \neq -2\) ✓

**Odpowiedź:** \(x = -1\) oraz \(x = \frac{5}{2}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp