---
route: /task/cke-2025-pp-15
title: Zadanie cke-2025-pp-15
source: CKE 2025 PP
category: Potęgi i pierwiastki
points: 2
type: closed
---

# Zadanie cke-2025-pp-15

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 2
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dana jest liczba \(x=a-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2\), gdzie \(a\) należy do zbioru \(\mathbb{R} \) liczb rzeczywistych. W rozwiązaniu zadania uwzględnij fakt, że liczby \(\sqrt{3}\) oraz \(\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\) są niewymierne. Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie zdania było prawdziwe. Liczba \(x\) jest wymierna dla

## Odpowiedzi

- **A.** \( a=5 \)
- **B.** \( a=-\sqrt{3}+\sqrt{2} \)
- **C.** \( a=(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2+0{,}3 \)
- **D.** \( a=6 \)
- **E.** \( a=-2\sqrt{6}+12{,}5 \)
- **F.** \( a=(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2-2\sqrt{6} \)
- **G.** \( a=-\sqrt{6} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** CE

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Rozwiązanie krok po kroku:

## Krok 1: Obliczenie wyrażenia \((\sqrt{3}-\sqrt{2})^2\)

Wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\):

$$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$$

$$= 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2\sqrt{6}$$

## Krok 2: Podstawienie do wzoru na \(x\)

$$x = a - (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 = a - (5 - 2\sqrt{6}) = a - 5 + 2\sqrt{6}$$

## Krok 3: Warunek wymierności \(x\)

Liczba \(x\) jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy:

$$x = a - 5 + 2\sqrt{6} \in \mathbb{Q}$$

Ponieważ \(\sqrt{6} = \sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\) jest liczbą niewymierną (dane w zadaniu), to \(2\sqrt{6}\) także jest niewymierne.

Aby suma \(a - 5 + 2\sqrt{6}\) była wymierna, musimy mieć:

$$a - 5 = -2\sqrt{6} + r$$

gdzie \(r \in \mathbb{Q}\), czyli:

$$a = 5 - 2\sqrt{6} + r$$

## Krok 4: Sprawdzenie opcji

**A.** \(a = 5\): wtedy \(x = 5 - 5 + 2\sqrt{6} = 2\sqrt{6}\) — **niewymierne**

**B.** \(a = -\sqrt{3}+\sqrt{2}\): wtedy \(x = -\sqrt{3}+\sqrt{2} - 5 + 2\sqrt{6}\) — **niewymierne** (zawiera \(\sqrt{3}\) i \(\sqrt{2}\))

**C.** \(a = (\sqrt{2}-\sqrt{3})^2 + 0{,}3\): 
Zauważmy, że \((\sqrt{2}-\sqrt{3})^2 = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{6}\)

$$a = 5 - 2\sqrt{6} + 0{,}3$$
$$x = (5 - 2\sqrt{6} + 0{,}3) - 5 + 2\sqrt{6} = 0{,}3$$

**WYMIERNE** ✓

**D.** \(a = 6\): wtedy \(x = 6 - 5 + 2\sqrt{6} = 1 + 2\sqrt{6}\) — **niewymierne**

**E.** \(a = -2\sqrt{6} + 12{,}5\):
$$x = (-2\sqrt{6} + 12{,}5) - 5 + 2\sqrt{6} = 12{,}5 - 5 = 7{,}5$$

**WYMIERNE** ✓

**F.** \(a = (\sqrt{2}-\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{6} = 5 - 2\sqrt{6} - 2\sqrt{6} = 5 - 4\sqrt{6}\):
$$x = (5 - 4\sqrt{6}) - 5 + 2\sqrt{6} = -2\sqrt{6}$$

**niewymierne**

**G.** \(a = -\sqrt{6}\): wtedy \(x = -\sqrt{6} - 5 + 2\sqrt{6} = \sqrt{6} - 5\) — **niewymierne**

## Odpowiedź: C i E

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp