---
route: /task/cke-2025-pp-14
title: Zadanie cke-2025-pp-14
source: CKE 2025 PP
category: Potęgi i pierwiastki
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-14

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dane są liczby \(a=\sqrt{5}-2\) oraz \(b=\sqrt{5}+2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{a\cdot b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} : \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}\) dla podanych \(a\) i \(b\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(1\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oblicza się wartość wyrażenia dla \(a=\sqrt{5}-2\) oraz \(b=\sqrt{5}+2\).

## Krok 1: Oblicza się iloczyn \(a \cdot b\)

Używa się wzoru skróconego mnożenia \((x-y)(x+y) = x^2-y^2\):

$$a \cdot b = (\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5-4 = 1$$

## Krok 2: Oblicza się różnicę \(a-b\)

$$a-b = (\sqrt{5}-2) - (\sqrt{5}+2) = \sqrt{5}-2-\sqrt{5}-2 = -4$$

## Krok 3: Upraszcza się wyrażenie \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)

$$\sqrt{a}+\sqrt{b} = \sqrt{\sqrt{5}-2} + \sqrt{\sqrt{5}+2}$$

## Krok 4: Upraszcza się wyrażenie \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)

$$\sqrt{a}-\sqrt{b} = \sqrt{\sqrt{5}-2} - \sqrt{\sqrt{5}+2}$$

## Krok 5: Podstawia się do głównego wyrażenia

$$\frac{a\cdot b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} : \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b} = \frac{a\cdot b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \cdot \frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$$

$$= \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \cdot \frac{-4}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$$

$$= \frac{-4}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$$

## Krok 6: Upraszcza się mianownik

Używa się wzoru \((x+y)(x-y) = x^2-y^2\):

$$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a-b = -4$$

## Krok 7: Oblicza się końcowy wynik

$$\frac{-4}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{-4}{-4} = 1$$

**Odpowiedź: \(1\)**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp