---
route: /task/cke-2025-pp-13
title: Zadanie cke-2025-pp-13
source: CKE 2025 PP
category: Potęgi i pierwiastki
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-13

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dane są dwie liczby \(x\) i \(y\), takie, że iloraz \(\frac{x}{y}\) jest równy \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{x+y}{x}\). Wynik podaj bez niewymierności w mianowniku.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Dane jest, że:
$$\frac{x}{y} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

Mamy obliczyć wartość wyrażenia $$\frac{x+y}{x}$$

**Krok 1:** Przekształca się wyrażenie, które trzeba obliczyć

$$\frac{x+y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{y}{x} = 1 + \frac{y}{x}$$

**Krok 2:** Widać, że $$\frac{y}{x} = \frac{1}{\frac{x}{y}}$$

Podstawia się dane:
$$\frac{y}{x} = \frac{1}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} = \frac{2}{1+\sqrt{5}}$$

**Krok 3:** Usuwam niewymierność z mianownika

Mnoży się licznik i mianownik przez sprzężenie $$1-\sqrt{5}$$:
$$\frac{2}{1+\sqrt{5}} = \frac{2(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})}$$

**Krok 4:** Oblicza się mianownik, używając wzoru skróconego mnożenia $$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$

$$(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5}) = 1^2 - (\sqrt{5})^2 = 1 - 5 = -4$$

**Krok 5:** Upraszcza się wyrażenie

$$\frac{2(1-\sqrt{5})}{-4} = \frac{2-2\sqrt{5}}{-4} = \frac{-(2-2\sqrt{5})}{4} = \frac{-2+2\sqrt{5}}{4} = \frac{2\sqrt{5}-2}{4} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

**Krok 6:** Oblicza się końcowy wynik

$$\frac{x+y}{x} = 1 + \frac{y}{x} = 1 + \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{2+\sqrt{5}-1}{2} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

**Odpowiedź:** $$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp