---
route: /task/cke-2025-pp-12
title: Zadanie cke-2025-pp-12
source: CKE 2025 PP
category: Logarytmy
points: 1
type: closed
---

# Zadanie cke-2025-pp-12

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Logarytmy
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dane są liczby \(a=\log _2(3 \sqrt{5}+\sqrt{13})\) oraz \(b=\log _2(3 \sqrt{5}-\sqrt{13})\). Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba \(a+b\) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \(\log _2 45\)
- **B.** \(\log _2 30\)
- **C.** \(4\)
- **D.** \(5\)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Mamy dane:
- $$a = \log_2(3\sqrt{5} + \sqrt{13})$$
- $$b = \log_2(3\sqrt{5} - \sqrt{13})$$

Wykorzystuje się własność logarytmów: $$\log_c x + \log_c y = \log_c(x \cdot y)$$

Zatem:
$$a + b = \log_2(3\sqrt{5} + \sqrt{13}) + \log_2(3\sqrt{5} - \sqrt{13})$$

$$a + b = \log_2\left[(3\sqrt{5} + \sqrt{13})(3\sqrt{5} - \sqrt{13})\right]$$

Oblicza się iloczyn używając wzoru skróconego mnożenia $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$$(3\sqrt{5} + \sqrt{13})(3\sqrt{5} - \sqrt{13}) = (3\sqrt{5})^2 - (\sqrt{13})^2$$

$$= 9 \cdot 5 - 13$$

$$= 45 - 13$$

$$= 32$$

Podstawia się do wzoru:
$$a + b = \log_2(32)$$

Oblicza się \(\log_2(32)\). Trzeba znaleźć taką liczbę \(x\), że \(2^x = 32\):

$$32 = 2^5$$

Zatem:
$$\log_2(32) = \log_2(2^5) = 5$$

**Odpowiedź: D**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/logarytmy
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp