---
route: /task/cke-2025-pp-07
title: Zadanie cke-2025-pp-07
source: CKE 2025 PP
category: Potęgi i pierwiastki
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-07

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Udowodnij, że liczba \(3^{45}+9^{22}+27^{14}\) jest podzielna przez \(37\).

**Prawidłowa odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Sprowadza się wszystkie składniki do tej samej potęgi liczby 3.

$$9 = 3^2, \quad 27 = 3^3$$

Przepisuję wyrażenie:
$$3^{45} + 9^{22} + 27^{14} = 3^{45} + (3^2)^{22} + (3^3)^{14}$$

$$= 3^{45} + 3^{44} + 3^{42}$$

Wyciągam najmniejszą potęgę przed nawias:
$$= 3^{42}(3^3 + 3^2 + 3^0)$$

$$= 3^{42}(27 + 9 + 1)$$

$$= 3^{42} \cdot 37$$

Ponieważ wyrażenie ma postać \(3^{42} \cdot 37\), to zawiera czynnik 37, więc jest podzielne przez 37.

**Wniosek:** Liczba \(3^{45}+9^{22}+27^{14}\) jest podzielna przez 37, co należało udowodnić.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp