---
route: /task/cke-2025-pp-05
title: Zadanie cke-2025-pp-05
source: CKE 2025 PP
category: Liczby rzeczywiste
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-05

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \(n\left(n^2+3 n+2\right)\) jest podzielna przez \(6\).

**Prawidłowa odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Musimy wykazać, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) wyrażenie \(n(n^2+3n+2)\) jest podzielne przez 6.

## Krok 1: Przekształcenie wyrażenia

Najpierw rozkładamy wyrażenie kwadratowe:

$$n^2 + 3n + 2 = (n+1)(n+2)$$

Możemy to sprawdzić: \((n+1)(n+2) = n^2 + 2n + n + 2 = n^2 + 3n + 2\) ✓

Zatem:
$$n(n^2+3n+2) = n(n+1)(n+2)$$

## Krok 2: Analiza iloczynu trzech kolejnych liczb naturalnych

Wyrażenie \(n(n+1)(n+2)\) to iloczyn **trzech kolejnych liczb naturalnych**.

### Podzielność przez 2:

Wśród dowolnych dwóch kolejnych liczb naturalnych przynajmniej jedna jest parzysta.

W naszym przypadku mamy trzy kolejne liczby, więc **co najmniej jedna** z nich jest parzysta.

Zatem \(n(n+1)(n+2)\) jest podzielne przez 2.

### Podzielność przez 3:

Każdą liczbę naturalną można zapisać w postaci \(3k\), \(3k+1\) lub \(3k+2\) dla pewnego \(k \in \mathbb{N}_0\).

Wśród trzech kolejnych liczb naturalnych \(n\), \(n+1\), \(n+2\):
- jedna daje resztę 0 przy dzieleniu przez 3
- jedna daje resztę 1 przy dzieleniu przez 3  
- jedna daje resztę 2 przy dzieleniu przez 3

Zatem **dokładnie jedna** z tych liczb jest podzielna przez 3.

Stąd \(n(n+1)(n+2)\) jest podzielne przez 3.

## Krok 3: Wnioskowanie o podzielności przez 6

Ponieważ:
- \(n(n+1)(n+2) \vdots 2\)
- \(n(n+1)(n+2) \vdots 3\)
- \(\text{NWD}(2,3) = 1\)

to na mocy własności podzielności:

$$n(n+1)(n+2) \vdots 6$$

## Wniosek

Udowodniliśmy, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \(n(n^2+3n+2)\) jest podzielna przez 6.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp