---
route: /task/cke-2025-pp-04
title: Zadanie cke-2025-pp-04
source: CKE 2025 PP
category: Liczby rzeczywiste
points: 3
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-04

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne \(a\) i \(b\) takie, że \(a\lt b\) oraz obie są niepodzielne przez \(3\). Udowodnij, że liczba \(a^2+11 a b+b^2\) jest podzielna przez \(9\).

**Prawidłowa odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Skoro \(a\) i \(b\) to kolejne liczby naturalne, to \(b = a + 1\).

**Analiza warunków dotyczących podzielności przez 3**

Liczby naturalne dzielą się na trzy klasy ze względu na resztę z dzielenia przez 3:
- \(n \equiv 0 \pmod{3}\) — podzielne przez 3
- \(n \equiv 1 \pmod{3}\) 
- \(n \equiv 2 \pmod{3}\)

Ponieważ \(a\) i \(b = a+1\) są kolejnymi liczbami, a obie są niepodzielne przez 3, możliwe są tylko dwie sytuacje:
- \(a \equiv 1 \pmod{3}\) i \(b \equiv 2 \pmod{3}\)
- \(a \equiv 2 \pmod{3}\) i \(b \equiv 0 \pmod{3}\) — niemożliwe, bo \(b\) musi być niepodzielne przez 3

Zatem jedyna możliwość to: \(a \equiv 1 \pmod{3}\) i \(b \equiv 2 \pmod{3}\).

**Podstawienie \(b = a + 1\)**

Obliczamy wyrażenie \(a^2 + 11ab + b^2\):

$$a^2 + 11ab + b^2 = a^2 + 11a(a+1) + (a+1)^2$$

$$= a^2 + 11a^2 + 11a + a^2 + 2a + 1$$

$$= 13a^2 + 13a + 1$$

**Sprawdzenie podzielności przez 9**

Musimy pokazać, że \(13a^2 + 13a + 1 \equiv 0 \pmod{9}\).

Ponieważ \(a \equiv 1 \pmod{3}\), możemy zapisać \(a = 3k + 1\) dla pewnej liczby całkowitej \(k \geq 0\).

Podstawiamy:
$$a^2 = (3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1$$

$$13a^2 = 13(9k^2 + 6k + 1) = 117k^2 + 78k + 13$$

$$13a = 13(3k+1) = 39k + 13$$

$$13a^2 + 13a + 1 = 117k^2 + 78k + 13 + 39k + 13 + 1$$

$$= 117k^2 + 117k + 27$$

$$= 9(13k^2 + 13k + 3)$$

Zatem \(13a^2 + 13a + 1\) jest podzielne przez 9.

**Wniosek**

Liczba \(a^2 + 11ab + b^2\) jest podzielna przez 9, co kończy dowód.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp