---
route: /task/cke-2025-pp-03
title: Zadanie cke-2025-pp-03
source: CKE 2025 PP
category: Liczby rzeczywiste
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2025-pp-03

**Źródło:** CKE 2025 PP
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej \(n\) liczba \((3 n+5)^2+11 n^2-18\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\).

**Prawidłowa odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Rozwija się wyrażenie \((3n+5)^2 + 11n^2 - 18\).

**Krok 1: Rozwinięcie kwadratu**

$$(3n+5)^2 = 9n^2 + 30n + 25$$

**Krok 2: Podstawienie do wyrażenia**

$$(3n+5)^2 + 11n^2 - 18 = 9n^2 + 30n + 25 + 11n^2 - 18$$

**Krok 3: Uproszczenie**

$$= 20n^2 + 30n + 7$$

**Krok 4: Analiza modulo 5**

Aby sprawdzić resztę z dzielenia przez 5, oblicza się:

$$20n^2 + 30n + 7 \equiv 0 \cdot n^2 + 0 \cdot n + 7 \pmod{5}$$

Ponieważ \(20 = 4 \cdot 5 \equiv 0 \pmod{5}\) oraz \(30 = 6 \cdot 5 \equiv 0 \pmod{5}\).

**Krok 5: Obliczenie reszty**

$$7 = 1 \cdot 5 + 2$$

Zatem:
$$7 \equiv 2 \pmod{5}$$

**Wniosek:**

$$20n^2 + 30n + 7 \equiv 2 \pmod{5}$$

Dla każdej liczby całkowitej \(n\) wyrażenie \((3n+5)^2 + 11n^2 - 18\) przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2.

**Weryfikacja przykładowa:**
- Dla \(n=0\): \(20 \cdot 0 + 30 \cdot 0 + 7 = 7 = 1 \cdot 5 + 2\) ✓
- Dla \(n=1\): \(20 + 30 + 7 = 57 = 11 \cdot 5 + 2\) ✓
- Dla \(n=-1\): \(20 - 30 + 7 = -3 = -1 \cdot 5 + 2\) ✓

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp