---
route: /task/cke-2023-pp-66
title: Zadanie cke-2023-pp-66
source: CKE 2023 PP
category: Prawdopodobieństwo
points: 3
type: open
---

# Zadanie cke-2023-pp-66

**Źródło:** CKE 2023 PP
**Kategoria:** Prawdopodobieństwo
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Paweł i Grzegorz postanowili zagrać w grę losową. Ich wspólny kolega będzie kolejno rzucał sześcienną symetryczną kostką do gry, której ścianki są oznaczone od \(1\) do \(6\). Gdy na kostce wypadnie liczba oczek mniejsza od \(4\), to Grzegorz daje Pawłowi \(10\) żetonów, a gdy na kostce wypadnie liczba oczek równa \(6\), to Paweł daje Grzegorzowi \(x\) żetonów. W pozostałych przypadkach żaden z graczy nie zyskuje ani nie traci żetonów. Paweł i Grzegorz sprawiedliwie ustalili liczbę \(x\) żetonów tak, aby wartość oczekiwana zysku z gry Pawła była równa wartości oczekiwanej zysku z gry Grzegorza. Oblicz ustaloną przez Pawła i Grzegorza liczbę \(x\) żetonów.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(x=30\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Analiza sytuacji

Rozważmy wszystkie możliwe wyniki rzutu kostką i związane z nimi zyski Pawła:

**Wyniki na kostce:**
- Liczby **mniejsze od 4**: 1, 2, 3 → Paweł **zyskuje 10 żetonów**
- Liczba **równa 6**: 6 → Paweł **traci \(x\) żetonów**
- Pozostałe liczby: 4, 5 → **brak zmian**

## Prawdopodobieństwa zdarzeń

Dla symetrycznej kostki:
- \(P(\text{wynik} < 4) = P(\{1,2,3\}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
- \(P(\text{wynik} = 6) = \frac{1}{6}\)
- \(P(\text{wynik} \in \{4,5\}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

## Wartość oczekiwana zysku Pawła

Zysk Pawła w pojedynczym rzucie:

$$E(\text{zysk Pawła}) = 10 \cdot \frac{1}{2} + (-x) \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{1}{3}$$

$$E(\text{zysk Pawła}) = 5 - \frac{x}{6}$$

## Wartość oczekiwana zysku Grzegorza

Grzegorz otrzymuje żetony dokładnie wtedy, gdy Paweł je traci (i na odwrót):

$$E(\text{zysk Grzegorza}) = -10 \cdot \frac{1}{2} + x \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{1}{3}$$

$$E(\text{zysk Grzegorza}) = -5 + \frac{x}{6}$$

## Warunek sprawiedliwości gry

Gra jest sprawiedliwa, gdy obie wartości oczekiwane są równe:

$$5 - \frac{x}{6} = -5 + \frac{x}{6}$$

Rozwiązujemy równanie:

$$5 + 5 = \frac{x}{6} + \frac{x}{6}$$

$$10 = \frac{2x}{6}$$

$$10 = \frac{x}{3}$$

$$x = 30$$

## Weryfikacja

Dla \(x = 30\):
- \(E(\text{zysk Pawła}) = 5 - \frac{30}{6} = 5 - 5 = 0\)
- \(E(\text{zysk Grzegorza}) = -5 + \frac{30}{6} = -5 + 5 = 0\)

Obie wartości oczekiwane są równe zero, co oznacza, że gra jest sprawiedliwa.

**Odpowiedź: \(x = 30\) żetonów**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/prawdopodobienstwo
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2023-pp