---
route: /task/cke-2023-pp-52
title: Zadanie cke-2023-pp-52
source: CKE 2023 PP
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2023-pp-52

**Źródło:** CKE 2023 PP
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dane są okrąg \(O\) o środku w punkcie \(S = (3, -4)\) i prosta \(k\) o równaniu \(2x - y - 11 = 0\). Okrąg \(O\) jest styczny do prostej \(k\) w punkcie \(P\).

Oblicz współrzędne punktu \(P\), w którym okrąg \(O\) jest styczny do prostej \(k\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(P=\left(\frac{17}{5}, -\frac{21}{5}\right)\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Wyznaczenie punktu styczności

Punkt styczności \(P\) leży na prostej prostopadłej do \(k\) przechodzącej przez środek okręgu \(S = (3, -4)\).

Wektor normalny prostej \(k: 2x - y - 11 = 0\) to \(\vec{n} = (2, -1)\).

Punkt \(P\) leży na prostej \(S + t \cdot \vec{n}\):
$$P = (3 + 2t, \; -4 - t)$$

## Warunek: P leży na prostej k

Podstawiamy współrzędne \(P\) do równania prostej \(k\):
$$2(3 + 2t) - (-4 - t) - 11 = 0$$

$$6 + 4t + 4 + t - 11 = 0$$

$$5t - 1 = 0$$

$$t = \frac{1}{5}$$

## Obliczenie współrzędnych P

$$P = \left(3 + 2 \cdot \frac{1}{5}, \; -4 - \frac{1}{5}\right) = \left(3 + \frac{2}{5}, \; -4 - \frac{1}{5}\right) = \left(\frac{17}{5}, \; -\frac{21}{5}\right)$$

**Odpowiedź:** \(P = \left(\frac{17}{5}, -\frac{21}{5}\right)\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2023-pp