---
route: /task/cke-2023-pp-51
title: Zadanie cke-2023-pp-51
source: CKE 2023 PP
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2023-pp-51

**Źródło:** CKE 2023 PP
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dane są okrąg \(O\) o środku w punkcie \(S = (3, -4)\) i prosta \(k\) o równaniu \(2x - y - 11 = 0\). Okrąg \(O\) jest styczny do prostej \(k\) w punkcie \(P\).

Wyznacz i zapisz równanie okręgu \(O\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \((x-3)^2+(y+4)^2=\frac{1}{5}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Wyznaczenie promienia okręgu

Okrąg \(O\) jest styczny do prostej \(k\), więc promień \(r\) jest równy odległości środka \(S = (3, -4)\) od prostej \(k: 2x - y - 11 = 0\).

Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej:
$$r = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

Podstawiamy \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = -11\), \(x_0 = 3\), \(y_0 = -4\):

$$r = \frac{|2 \cdot 3 + (-1) \cdot (-4) + (-11)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|6 + 4 - 11|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|-1|}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$

## Równanie okręgu

Środek: \(S = (3, -4)\), promień: \(r = \frac{1}{\sqrt{5}}\), więc \(r^2 = \frac{1}{5}\).

Równanie okręgu:
$$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = \frac{1}{5}$$

**Odpowiedź:** \((x-3)^2+(y+4)^2=\frac{1}{5}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2023-pp