---
route: /task/cke-2023-pp-45
title: Zadanie cke-2023-pp-45
source: CKE 2023 PP
category: Planimetria
points: 3
type: open
---

# Zadanie cke-2023-pp-45

**Źródło:** CKE 2023 PP
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt \(ABC\) o bokach długości: \(|AB| = 4\), \(|BC| = 5\), \(|AC| = 6\). Na tym trójkącie opisano okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(R\). Oblicz promień \(R\) okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(R=\frac{8\sqrt{7}}{7}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Szukamy promienia okręgu opisanego na trójkącie o bokach \(a = 5\), \(b = 6\), \(c = 4\).

## Krok 1: Obliczamy pole trójkąta ze wzoru Herona

半obwód trójkąta:
$$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 6 + 4}{2} = \frac{15}{2}$$

Wzór Herona:
$$P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

Obliczamy kolejne czynniki:
$$p - a = \frac{15}{2} - 5 = \frac{5}{2}$$

$$p - b = \frac{15}{2} - 6 = \frac{3}{2}$$

$$p - c = \frac{15}{2} - 4 = \frac{7}{2}$$

Podstawiamy:
$$P = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{15 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 7}{16}}$$

$$P = \sqrt{\frac{1575}{16}} = \frac{\sqrt{1575}}{4}$$

Upraszczamy \(\sqrt{1575}\):
$$1575 = 25 \cdot 63 = 25 \cdot 9 \cdot 7 = 225 \cdot 7$$

$$\sqrt{1575} = \sqrt{225 \cdot 7} = 15\sqrt{7}$$

Zatem:
$$P = \frac{15\sqrt{7}}{4}$$

## Krok 2: Stosujemy wzór na promień okręgu opisanego

Wzór wiążący promień okręgu opisanego z bokami i polem:
$$R = \frac{abc}{4P}$$

Podstawiamy:
$$R = \frac{5 \cdot 6 \cdot 4}{4 \cdot \frac{15\sqrt{7}}{4}} = \frac{120}{15\sqrt{7}} = \frac{8}{\sqrt{7}}$$

Wymierniamy mianownik:
$$R = \frac{8}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{8\sqrt{7}}{7}$$

**Odpowiedź:** $$R = \frac{8\sqrt{7}}{7}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2023-pp