---
route: /task/cke-2023-pp-40
title: Zadanie cke-2023-pp-40
source: CKE 2023 PP
category: Geometria analityczna
points: 1
type: open
---

# Zadanie cke-2023-pp-40

**Źródło:** CKE 2023 PP
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB| = 5\), |\(BC| = \sqrt{21}\), \(|AC| = 4\). Dwusieczna kąta \(\sphericalangle CAB\) przecina bok \(BC\) w punkcie \(D\) (zobacz rysunek poniżej). Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. Długość odcinka \(BD\) jest równa

**Prawidłowa odpowiedź:** B3

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

**Dane:**
- \(|AB| = 5\)
- \(|BC| = \sqrt{21}\)
- \(|AC| = 4\)
- \(D\) leży na \(BC\), a \(AD\) jest dwusieczną kąta \(\angle CAB\)

**Krok 1: Zastosowanie twierdzenia o dwusiecznej**

Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego mówi, że dwusieczna kąta w trójkącie dzieli przeciwległy bok na części proporcjonalne do długości boków przyległych do tego kąta.

Dla dwusiecznej kąta \(\angle CAB\) przecinającej bok \(BC\) w punkcie \(D\):

$$\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|}$$

**Krok 2: Podstawienie danych**

$$\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{5}{4}$$

**Krok 3: Wyrażenie \(|DC|\) przez \(|BD|\)**

Z proporcji otrzymujemy:
$$|DC| = \frac{4}{5}|BD|$$

**Krok 4: Użycie warunku \(|BD| + |DC| = |BC|\)**

Ponieważ \(D\) leży na \(BC\):
$$|BD| + |DC| = \sqrt{21}$$

Podstawiamy \(|DC| = \frac{4}{5}|BD|\):
$$|BD| + \frac{4}{5}|BD| = \sqrt{21}$$

$$\frac{9}{5}|BD| = \sqrt{21}$$

**Krok 5: Obliczenie \(|BD|\)**

$$|BD| = \frac{5\sqrt{21}}{9}$$

**Uzasadnienie:**

Długość odcinka \(BD\) obliczyliśmy stosując twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie, które ustala proporcję:
$$\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{5}{4}$$

**Odpowiedź: B3**

(gdzie B to odpowiedź \(|BD| = \frac{5\sqrt{21}}{9}\), a 3 to uzasadnienie oparte na twierdzeniu o dwusiecznej)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2023-pp